Mathematik: Potenzen mit Exponenten mit Nachkommastellen?
Seit Tagen stelle ich mir die Frage, wie Taschenrechner und Computer Potenzen mit Exponenten, die rational sind, oder beliebig viele Nachkommastellen haben. Wie rechnet man z. B. a^2,9 oder a^1,0032?? Gibt es da eine Formel oder eine Reihe, mit der man das berechnen kann? Ich freue mich über jede Antwort, die mich weiterbringen könnte. LG
5 Antworten
Rationale Exponenten sind mit Hilfe von Wurzelziehen definiert:
https://www.mathebibel.de/potenzen
Reelle Exponenten
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Reelle_Exponenten
Die Taschenrechner verwenden Reihen für solche Berechnungen (sonst wäre es nicht möglich). Ich habe unlängst eine Reihe für ln (natürlicher Logarithmus, Basis ist e=2,718...) gefunden:
http://massmatics.de/merkzettel/#!63:Die_Logarithmusfunktion
(ganz runterscrollen)
Ob es die Taschenrechner genauso machen, weiß ich nicht, aber eine einfache rechnerische Lösung fußt auf Basis der Potenzregeln:
Daraus kann man dann folgendes schließen:
Und damit hat man das Problem rationaler Exponenten ganz einfach auf rechnerische Ausdrücke mit ganzzahligen Werten reduziert. Also gar kein Problem.
LG
a^2,9 = a^2*a^0,9 = a^2*a^(9/10) = a^2*(a^9)^(1/10)
Das Problem reduziert sich also darauf x^(1/10) zu berechnen. Das ist aber nichts anderes wie die zehnte Wurzel aus x, diese kann man zum Beispiel mit dem Verfahren der Intervallschachtelung berechnen. So geht das bei jedem rationalen Exponenten. Bei irrationalen Exponenten wählt man wohl eine rationale Näherung des Exponenten.
a ^ b = e ^ (b * ln(a))
Und für die e-Funktion und natürliche Logarithmusfunktion gibt es richtig gute Methoden um sie auszuwerten.
Anmerkung :
Es existiert außerdem noch der "Trick", dass ln(x) = - ln(1 / x) ist, für x > 0