Irrationale Hochzahlen

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5 Antworten

Ich bin zwar kein Mathe-Student (mein Abschluss als Dpl-Ing für Informatik liegt inzwischen 23 Jahre zurück...) aber eine Möglichkeit für beliebige Exponenten liegt in den so genannten Umkehroperationen. Diese sind ja bekanntlich für Wurzeln und Exponenten der Nat-Log und die Euler-e^x. Sofern Du einen Taschenrechner mit der Konstante Pi als Eingabetaste hast, kannst Du nach folgendem Muster verfahren: (Leider kann ich hier keine Formeln wiedergeben - deshalb schreibe ich die Tastenreihenfolge für die Eingabe auf dem Taschenrechner)

A^B = (A) (Ln) (x) (B) (=) (e^x)

Für Dein Beispiel würde dies so aussehen: (5) (Ln) (x) (Pi) (=) (e^x)

Sofern Du Dich nicht vertippt hast, sollte als Ergebnis 5^Pi = 156,99255 heraus kommen!

Viel Spass wünscht Steini! -:)

Flonk 30.05.2011, 21:38

Gute Idee! Darauf hätte ich auch selbst kommen können :) Was meinte der Mathelehrer dann wohl mit 2. Semester Studium?

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notizhelge 30.05.2011, 21:51
@Flonk

Was meinte der Mathelehrer dann wohl mit 2. Semester Studium?

Da oben steht nur ein "Rezept", wie man das rechnet, aber keinerlei Begründung dafür, dass zB 5^π überhaupt irgendeinen Sinn hat (und wenn ja, welchen). Das ist (wie du ja in deiner Fage selber formuliert hast) überhaupt nicht selbstverständlich. Denn über eine Kombination aus ganzzahligem Potenzieren und Wurzelziehen kommt man da nicht hin.

Beachte, dass der Logarithmus da auch gar nicht hilft (außer als "Rezept"), denn wenn man nicht weiß, ob 5^π definiert ist, weiß man auch nicht, ob man das logarithmieren darf.

Und genau das lernt man im Studium: Nachzuweisen, dass das einen Sinn hat und welchen Sinn das hat. Zum Tastendrücken muss keiner studieren, und Tastendrücken ist auch keine Mathematik.

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Eine wichtige Regel: pow(a,n)=a^n=exp(n * ln(a))=e^(n * ln(a))
wobei die Funktionen ln(x) und exp(x) auch nur unendliche Summen sind. Für alle Berechnungen gilt: man muss zunächst die Genauigkeit festlegen, die man benötigt (wegen Rundungsfehlern alle Zwischenberechnungen - je nach Funktion - nochmals um mindestens 4 Nachkommastellen genauer als Ein- & Ausgabe). Damit ist es egal, ob die Variable a oder n irrational ist: man kann nur endlich viele Stellen berechnen und sich begrenzt (also nie) dem exaktem Ergebnis nähern. Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

kann man viele der über 99 Funktionen auch im komplexen mit mindestens 32 Stellen berechnen, also z.B. pow(x,y)

(-3.14159265358979323846264338+0.1i)^(-0.27-3.1415926535897932384626433i) also y= -0.27-3.1415926535897932384626433i (Realteil und Imaginärteil negativ)

bin kein Mathematiker, aber ich würde eben eine Folge potenzieren..., es gibt doch sicherlich eine rationale Folge mit dem Grenzwert pi, und die würde ich dann eben entwickeln und den Grenzwert des Ergebnisses betrachten.

Flonk 30.05.2011, 21:19

Ja, das hab ich mir auch schon überlegt. Aber gibt es solche Folgen für alle irrationalen Zahlen?

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notizhelge 30.05.2011, 21:45
@Flonk

Aber gibt es solche Folgen für alle irrationalen Zahlen?

Ja. Denn durch Folgen rationaler Zahlen werden die irrationalen Zahlen aus den rationalen konstruiert. Jedenfalls ist das eine von mehreren Konstruktionsmöglichkeiten, http://de.wikipedia.org/wiki/ReelleZahl#Konstruktionderreellenausdenrationalen_Zahlen

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5 ^ Pi = (5 ^3) * (5^0,1) * (5^0,04) = (5 ^3) * (5^ [1/10] ) * (5 ^ {4/100] ) = (5 ^3) * (10te Wurzel aus 5 ^1) * (100te Wurzel aus 5^4) u.s.w.

Flonk 30.05.2011, 21:40

Ja, nur müsste man das für jede Stelle von Pi machen, und davon gibts ja bekanntlich unendlich :P

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