Matheaufgabe zu Binomischen Formeln?

6 Antworten

Gleiche Symbole = gleiche Werte = (a+b) x (a-b) = a^2 - b^2

10^2 - 2^2 = 100 - 4=96

Zum Beispiel

Setz mal für das linke Zeichen ein x und für das rechte ein y.

Dann bekommst Du (x+y).(x-y)=96.

Ausmultiplizieren.

Dann musst Du "nur noch" zwei Quadratzahlen finden, die 96 auseinander sind. Das ergibt dann x und y, d. h. die beiden Zeichen.

Nimm mal die Quadratzahlen ab 100 (weniger macht keinen Sinn wegen der 96): 100, 121, 144, ...

Subtrahiere von dieser Quadratzahl die 96. Wenn Du jetzt wieder eine Quadratzahl hast: Bingo!

Beispielsweise ist für ○ = 10 und □ = 2

(10 + 2) ⋅ (10 - 2) = 96.

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Mögliche Vorgehensweise:

Nach dritter binomischer Formel ist

(○ + □) ⋅ (○ - □) = 96

äquivalent zu

○² - □² = 96,

was wiederum äquivalent zu

○² = 96 + □²

ist. Du kannst also für □ nach und nach verschiedene Zahlen einsetzen, und jeweils schauen, ob 96 + □² eine Quadratzahl ist.

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Beachte, dass es hier mehrere Lösungen gibt. Im Bereich der natürlichen Zahlen gibt es die folgenden Lösungen:

(10 + 2) ⋅ (10 - 2) = 96
für ○ = 10 und □ = 2

(11 + 5) ⋅ (11 - 5) = 96
für ○ = 11 und □ = 5

(14 + 10) ⋅ (14 - 10) = 96
für ○ = 14 und □ = 10

(25 + 23) ⋅ (25 - 23) = 96
für ○ = 25 und □ = 23

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Im Bereich der reellen Zahlen gibt es noch mehr Möglichkeiten.

Da kann man dann entsprechend ○² = 96 + □² einfach eine beliebige reelle Zahl □ wählen und dann ○ = √(96 + □²) setzen.

Beispielsweise kann man
□ = 3 und ○ = √(96 + □²) = √(96 + 3²) = √(99)
wählen, um
(√(99) + 3) ⋅ (√(99) - 3) = 96
zu erhalten.

Uups, da habe ich kurz nicht aufgepasst und mich am Ende leider beim letzten Beispiel verrechnet. Natürlich ist

√(96 + 3²) = √(96 + 9) = √(105) ≠ √(99).

Dementsprechend sollte dann auch

(√(105) + 3) ⋅ (√(105) - 3) = 96

in meiner Antwort stehen.

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Wandle links die Binomische Formel um.

Für die entstandene Differenz benötigst nun zwei passende Quadratzahlen, wobei der Minuend größer als 96 sein muss.

Und dann schaust, welche passen.

○² -  □² = 96

Jetzt nimmst Du Dir die Zahlen zwischen 1 und 10 und spielst damit rum, bis Du ein passendes Pärchen erwischt. :)

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