Mathe Hilfe?
Wie bilde ich hier den Funktionsterm? Wie kann herausfinden ob die Aussagen richtig sind? Kann mir jemand helfen? Danke
3 Antworten
Zu a):
Suche dir entsprechende Punkte und stelle damit eine entsprechende Funktionsgleichung auf. Vor allem die folgenden markanten Punkte sollten meiner Ansicht nach berücksichtigt werden...
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Dementsprechend sollten also zumindest die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
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Du kennst wahrscheinlich bereits entsprechende Steckbriefaufgaben. Genauso kannst du jetzt eine entsprechende Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion für f′ finden.
[Anhand der 5 Bedingungen könntest du vielleicht auf die Idee kommen, eine Funktion 4-ten oder höheren Grades anzusetzen. Jedoch sieht der Funktionsgraph eher nach einer Funktion 3-ten Grades aus. Und tatsächlich lassen sich alle Bedingungen mit einer Funktion 3-ten Grades erfüllen.]
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Ich würde beispielsweise wegen der doppelten Nullstelle bei x = 0 und der einfachen Nullstelle bei x = 3 den Ansatz...
... betrachten. Dann würde ich A so wählen, dass f′(2) = 4 erfüllt ist...
... und überprüfen, ob f′′(2) = 0 ist...
Dementsprechend würde ich also
als mögliche Funktionsgleichung erhalten.
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Zu b):
Hier solltest du dir folgende Aussagen in den Kopf rufen:
- Bei Extrempunkten von f hat die Ableitung f′ einen Vorzeichenwechsel.
- Bei Wendepunkten von f hat die Ableitung f′ einen (lokalen) Extrempunkt.
- Beim Ableiten fallen additive Konstanten weg. Du kannst also ohne weitere Angaben nicht die konkrete Funktionswerte von f berechnen. Du kannst den Graphen von f beliebige in y-Richtung nach oben verschieben (bzw. umgekehrt auch nach unten), ohne dass sich die Werte der Ableitung ändern.
Dementsprechend überlege (mit Hilfe der gegebenen Skizze) beispielsweise für die erste der drei Fragen: Wechselt f' an zwei Stellen das Vorzeichen?
Da hast du nur bei der ersten Aussage recht.
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Die erste Aussage stimmt nicht. [Bei f′ ist in der Skizze nur ein Vorzeichenwechsel bei x = 3 erkennbar. Dementsprechend hat f nur einen Extrempunkt (nämlich einen Hochpunkt bei x = 3), nicht zwei Extrempunkte.]
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Die zweite Aussage stimmt. [Bei f′ sind in der Skizze zwei Extrempunkte (bei x = 0 und bei x = 2) zu erkennen. Dementsprechend hat f zwei Wendepunkte (bei x = 0 und bei x = 2).]
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[Vorbemerkung zur dritten Aussage, welche aber für die Lösung hier nicht unbedingt relevant ist]
Für die Funktion f kann man die Gleichung f(x) = -1/4 x⁴ + x³ + C angeben. Aber die Konstante C ist nicht bekannt und lässt sich mit den gegebenen Informationen nicht herausfinden. Je nachdem, wie die Konstante C aussieht, hat f unterschiedlich viele Schnittpunkte mit y = 2. Für C < -27/4 gibt es keinen Schnittpunkt. Für C = -27/4 gibt es einen Schnittpunkt. Für C > -27/4 gibt es zwei Schnittpunkte.
[Ende der Vorbemerkung]
- Für x ≤ 3 ist f′(x) ≥ 0. Dementsprechend ist f(x) in diesem Bereich monoton steigend. [Da f′(x) nur an einzelnen, isolierten Stellen gleich 0 ist, ist f(x) in dem Bereich sogar streng monoton steigend.]
- Für x ≥ 3 ist f′(x) ≤ 0. Dementsprechend ist f(x) in diesem Bereich monoton fallend. [Da f′(x) nur an einzelnen, isolierten Stellen gleich 0 ist, ist f(x) in dem Bereich sogar streng monoton fallend.]
Dementsprechend kann es höchstens eine Stelle x ≤ 3 mit f(x) = 2 und höchstens eine Stelle x ≥ 3 mit f(x) = 2 geben. Es kann also insgesamt höchstens zwei Schnittpunkte (nicht drei Schnittpunkte) von f mit y = 2 geben.
Aus
f(0) = 0
f'(0) = 0
f(3) = 0
f'(3) = 0
entsteht eine Fkt dritten Grades
.
oder mit f(x) = a*(x-3) * ( x - 0 )² und P(2/4)
4 = a*(2-3) * (2 -0)²
4 = -a * 4
-1 = a
Probe
f'(x) = 2*(x-3) * ( x - 0 )²
.
f hat Grad 4
potentiell 3 Extrempunkte
potentiell 2 WP
.
wegen der zwei Nullstellen von f'(x) könnte (1) korrekt sein . Da bei x = 0 aber ein Berührpunkt ist ist dort bei f(x) ein Terrassenpunkt
(1) nicht korrekt
.
(2) ja ,weil es zwei Extrema gibt
.
(3) ist strange
Du solltest f(x) skizzieren , so als ob wie sonst F(x) gesucht ist
.
Du hast 3 Punkte und 2 Extrema, d. h., die Funktion
ist mit ihren 4 Parametern schon überbestimmt.
Allg. Gleichung:
f'(x) = ax³ + bx² + cx + d
(I) f'(0) = 0
(II) f'(2) = 4
(III) f''(0) = 0
(IV) f''(2) = 0
Aus (I): d = 0
Aus (III): c = 0
Aus (II) und (IV):
8a + 4b = 4
12a + 4b = 0
a = -1
b = 3
f'(x) = -x³ + 3x²
Stimme die ersten beiden Aussagen dann nicht und die letzte Aussage stimmt?