Mathe, beweise?
Also wir sollen als Mathematik-Hausaufgabe x,y,z bestimmen für die die Gleichung:
x²+y²+z²-xy-yz-zx=3
Erfüllt. Man soll dazu die Richtigkeit des Ergebnisses beweisen. Hab's schon mit Ableitungen versucht aber es nicht hinbekommen, kann mir jemand helfen? Bin offen für alle Lösungsvorschläge ( bitte mit Erklärung wenn möglich). Dankeschön
3 Antworten
x² + y² + z² - xy - yz - zx = 3
lässt sich umformen zu:
(x - y)² + (y - z)² + (x - z)² = 6
d.h., bereits alle Kombinationen von
x - y = 1
y - z = 1
x - z = 2
führen zu Lösungen. Und dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Die Gleichung (x - y)² + (y - z)² + (x - z)² = 6 passt, wenn (x - y)² = 1² und (y - z)² = 1² und (x - z)² = 2² ist, dann kommt 6 heraus. Daher die 3 Gleichungen, die deutlich machen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Wir haben hier eine Quadrik. Zur Lösung würde sich also vermutlich Hauptachsentransformation anbieten. Am besten schreibst du die Aufgabe also in Matrixschreibweise, also x^T*A*x+b^T*x+c = 0, diagonalisierst dann die Matrix A, setzt y = b^T*x und d = B^T*b wenn D, die Diagonalmatrix = B^-1*A*B. Dann hast du y^T*D*y+d^T*y+c = 0. Dann eliminierst du den linearen Anteil mittels quadratischer Ergänzung. Heraus kommt ein elliptischer Zylinder
Guck dir am besten ein Video zur Hauptachsentrafo an. Oder du multiplizierst einfach mal x^T*A*x + b^T*x + c aus und arbeitest mit Koeffizientenvergleich.
x=1, y=2, z=3, aber das ist nur auf die Schnelle geraten.
Najaaa iwie musstest du es ja oder nur durch ausprobieren
Wie kommst du bei Gleichungssystem zu ...=1 und ...=2???