Mathematik Aufgabe: Ganzrationale Funktionen?
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der angehangenen Mathematik Aufgabe. In der Aufgabe soll man die Funktionsgleichung einer ganzrationaler Funktionen anhand eines Graphen bestimmen.
Ich habe keinerlei Ansätze, wie das gehen soll, da nicht mal der Grad der Funktion gegeben ist.
Vllt. hat jemand von euch eine Idee.
Danke im voraus
P.S. wir haben Ableitungen, Wende-/Hoch-/Tiefpunkte noch nicht gemacht.
3 Antworten
Bildungsgesetz von ganzrationalen Funktionen
y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*...(x-xn)*a
x1,x1...xn sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse,Nullstellen)
Das Ganze wir dann mit dem Faktor a noch multipliziert
1) Gerade y=m*x¹+b hier ist der höchste Exponent n= 1 somit eine ganzrationale Funktion 1.Grades
2) Parabel y=f(x)=a2*x²+a2*x+ao höchster Exponent n=2 → 2.Grades
3) kubische Funktion y=f(x)=a33*x³+a2*x²+a1*x+ao höchster Exponent n=3 → 3.Grades
Anzahl der Extrema (Buckel)=n-2
bei 3) mit n=3 maximal mögliche Extrema (Buckel)=3-1=2 Maximum/Minimum
Hinweis:eine kubische Funktion hat immer einen Wendepunkt,wegen f´´(x)=0 und f´´´(x) ≠0
Eine Parabel ist immer U-Förmig (biquadratische Funktion y=f(x)=a4*x⁴+aa2*x²+ao kann auch U-Förmig sein,ist aber im Scheitelpunkt breiter,als eine normale Parabel)
a) Parabel Scheitelpunktform y=f(x)=a*(x-xs)²+ys
Scheitelpunkt Ps(xs/ys)
b) wir sehen 2 Extrema (2 Buckel) → kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit f(0)=0 → ao=0 geht durch den Ursprung
c) und d) hier sind 3 Extrema 3=n-1 → n=3+1=4 ganzrationale Funktion 4.Grades
y=f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit f(0)=0 → ao=0 bei c) und d)
Infos,Steckbriefaufgabe,vergrößern und/oder herunterladen
Zunächst schau dir die Antwort von Zoppel an. Dann eine Ergänzung dazu: "prallt" die Funktion an der x Achse ab, wie z.B. bei der b in x=2, dann ist die Nullstelle "doppelt", d.h. geht quadratisch in die Funktion ein. D.h. die Lösung der b ist
f(x) = ax(x-2)^2.
Den Vorfaktor a kannst du hier nur schwer bestimmen, da ausser den Nullstellen kein offensichtlicher Punkt auf der Funktion gegeben ist. Du weißt aber, dass er größer als 0 sein muss, denn die Funktion ist von ungeradem Grad, kommt von -unendl. und geht nach unendl. Wäre a kleiner als 0, wäre das Verhalten umgekehrt.
Jetzt probiere die c und d nach dem selben Verfahren.
Sorry für die vielen Rechtschreibfehler, meine Tablettastatur macht manchmal merkwürdige Dinge. Ich hoffe ich habe die schlimmsten gefunden und korrigiert.
Und achte darauf dass das Vorzeichen der Nullstelle sich umdreht. Ist die Nullstelle 2, ist der Faktor (x-2). Ist sie -2, dann (x+2)
Wenn du die Nullstellen ablesen kannst kannst du die Nullstellenform nehmen.
Beispiel a) x1= 0, x2= 2
=> f(x)=(x-0)*(x-2) => f(x) = x(x-2)
Fast richtig, es fehlt noch der Vorfaktor, der im vorliegenden Fall durchaus 1 sein kann.
Vielen Dank für die verständliche Antwort!1