Höhere Mathematik 1?

ich habe ein Problem bei einer aufgabe an der ich seit stunden nicht weiter komme eventuell kann mir einer von euch helfen. vielen lieben dank schonmal im Voraus.

Ein sich in einem abgeschlossenen System befindliches Fluid mit einer gewissen (unbekannten) Anfangstemperatur T0 zur Zeit t0 = 0 min wird von außen mit der konstanten (und bekannten) Temperatur T* gekühlt. Die Temperaturverlauf verläuft dabei gemäß der Vorschrift: T(t) = (T0 - T*) exp(-kt) + T* mit einem gewissem Parameter k > 0. Nach der Zeit t1 > 0 betrage die Temperatur T1, und nach der Zeit t2 > t1 liege sie bei T2.

a) Geben Sie eine (von t1; t2; T1 und T2 abhängige) Darstellung für k und T0 an. b) Geben Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus a) eine Darstellung für T(t) an.

c) Für eine Temperatur T3 mit T* < T3 (kleiner gleich)T0 bezeichne nun t3 den Zeitpunkt, für den T(t3) = T3 gilt. Geben Sie eine (von t1;t2;T1;T2 und T3 abhängige) Darstellung für t3 an.

d) Bestimmen Sie für die Spezialfälle T(30 min) = 65(Grad)C; T(60 min) = 35 (Grad)C und T* = 18 (Grad)C die Anfangstemperatur T0 sowie den Parameter k. Bestimmen Sie außerdem denjenigen

Zeitpunkt t3, zu dem T(t3) = 20 (Grad)C erfüllt ist.

Answer 1

[LUKEars]

also... du hast für (a) zwei bekannte Punkte und somit zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten (k und T0):

T(t1)=T1 --> (T0 - T*) exp(-k·t1) + T* = T1
T(t2)=T2 --> (T0 - T*) exp(-k·t2) + T* = T2
subtrahiere die zweite von der ersten:
(T0 - T*) (exp(-k·t1) - exp(-k·t2)) = T1 - T2
nach T0 auflösen:
T0 = T* + (T1-T2)/(exp(-k·t1) - exp(-k·t2))
einsetzen in die erste:
(T* + (T1-T2)/(exp(-k·t1) - exp(-k·t2)) - T*) exp(-k·t1) + T* = T1
vereinfache:
(T1-T2)·exp(-k·t1)/(exp(-k·t1) - exp(-k·t2))=T1
(1-T2/T1)·exp(-k·t1) = exp(-k·t1) - exp(-k·t2)
jetzl ln(·) auf beiden Seiten:
ln(1-T2/T1)-k·t1 = ln(exp(-k·t1) - exp(-k·t2))
und dann ganz ruhig aufgeben...
das k kriegt man wohl nur numerisch raus...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Comments

[paprikaw22]

ich glaube du hast die da irgendwo vertan, ich habs nicht so genau angesehen, jedenfalls läßt sich das ganz elementar lösen (siehe meine Antwort).

[LUKEars]

@paprikaw22

auf Division bin ich nich gekommen... nur auflösen&substituieren und Gleichungen subtrahieren... lol

[paprikaw22]

@LUKEars

Irgendwann hast du dich aber verrechnet glaub ich. Habs nur kurz überflogen

[LUKEars]

@paprikaw22

lol... so so...

[LUKEars]

@paprikaw22

ja... im letzten Schritt... ln(a·b)=ln a+ln b... oder?

[paprikaw22]

@LUKEars

ja, da hab ich klein beigegeben :-)

Answer 2

[paprikaw22]

(a)

Substituiere (es schreibt sich dann bloß kürzer):

$\theta_1:=\ T_1-T^{\ast}$ (bekannt)

$\theta_2:=\ T_2-T^{\ast}$ (bekannt)

$\theta_0:=\ T_0-T^{\ast}$ (unbekannt)

Dann schreiben sich deine zwei Punkte:

$\theta_1=\ \theta_0e^{-kt_1}$ $\theta_2=\ \theta_0e^{-kt_2}$

gesucht:

$\theta_0,\ k$

Dividiere die zweite Gleichung durch die erste:

$\frac{\theta_2}{\theta_1}=\ e^{k\left(t_1-t_2\right)}$

Daraus:

$k\ =\ \frac{\ln\ \frac{\theta_2}{\theta_1}}{t_1-t_2}$

$\theta_0=\theta_1\cdot\left(\frac{\theta_2}{\theta_{^1}}\right)^{\frac{t_1}{t_{1-t_2}}}$

Dann substituierst du zurück

$T_0\ =\ \theta_0+T^{\ast}$

und bist fertig.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Physik und Meteorologie