Aufzug und Kugel, wie berechnet man in 2 Koordinatensystemen physikalische Größen?
Kurz der Sachverhalt: Die Kabine eines Aufzugs, mit einer Kabinenhöhe von 3,0 m, wird von t0 = 0 s an mit konstanter Beschleunigung a =1 m/s² nach oben beschleunigt. Nach 3 s wird von der Decke der Kabine eine Kugel fallen gelassen.
Die Frage dazu: Wann erreicht sie den Boden?
Meine Überlegungen: Bei t1=3s wird die Kugel fallen gelassen, und fällt in mit der Beschleunigung g+a über die Kabinenhöhe h = 3 m. Für diese Strecke wird die Zeitdauer benötigt:
h=1/2*(g+a)t umgestellt nach t und dann kann damit t2 errechnet werden: t2=t1+t
Welche Fallstrecke hat sie zurückgelegt?
Die Fallstrecke ergibt sich aus der allgemeinen Ort‐Zeit‐Funktion einer geradlinig beschleunigten Bewegung:
s1=1/2*g*t+v0*t+s0
mit
s0=0
v0=a*(t1-t0)
Die Kugel fällt aber gleichzeitig im Aufzug nach unten:
s2=1/2*a*(t1-t0)
und damit die Gesamtstrecke: s=s1+s2
Welche Geschwindigkeit hat sie beim Aufprall im Ruhesystem und relativ zur Kabine?
Da der Aufzug bereits eine Anfangsgeschwindigkeit hat folgt dafür: v=g*t^2+v0 und im Aufzug selbst dann: v=(g+a)*t^2
Stimmen meine Überlegungen? Ich wäre über Anregungen dankbar.
2 Antworten
Mache mir jetzt nicht die Mühe, deine Überlegungen nachzuvollziehen und zu druchdringen. Rechne es einfach damit aus, dann weißt du, ob es gestimmt hat.
Ich würde da streng mathematisch vorgehen:
Konventionen:
Index a: Aufzug
Index k: Kugel
Die Nullinie lege ich auf den Boden des Aufzuges zur Zeit t = 0 (ruhendes System).
Für den Boden des Aufzuges gilt dann:
va(t) = a * ta
sa(t) = a/2 * ta^2
Für die Kugel gilt:
tk = ta - 3s
vko = va(3s) = 1 m/s^2 * 3 s = 3 m/s
sko = sa(3s) + 3m = 0,5 m/s^2 * (3s)^2 + 3 m = 7,5 m
vk(tk) = vok - g/2 * tk^2 = 3 m/s - 4,905 m/s^2 * tk^2
= 3 m/s - 4,905 m/s^2 * (ta - 3s)^2
sk(tk) = sko + vko * tk - g/2 * tk^2
= 7,5 m + 3 m/s(ta - 3s) - 4,905 m/s^2 * (ta - 3s)^2
Nun gilt beim Auftreffen der Kugel auf dem Boden:
sa = sk
also:
3 m/s - 4,905 m/s^2 * (ta - 3s)^2 = 7,5 m + 3 m/s(ta - 3s) - 4,905 m/s^2 * (ta - 3s)^2
ausgerechnet und sortiert ergibt das die quadratische Gleichung:
0 = 5,405 m/s^2 * ta^2 - 32,43 m/s * ta + 45,645 m
also löse ich jetzt die Gleichung:
5,405x^2 - 32,43x + 45,645 = 0
mit der Mitternachtsformel:
Die zweite Lösung mit ta = 2,255 smacht keinen Sinn, da sie vor dem Loslassen der Kugel liegt.
Also ist die Lösung:
ta = 3,745 s
tk = 0,745 s
Zwischenprobe:
sa(3,745s) = 0,5 m/s * (3,745 s)^2 = 7,01 m
sk (0,745s) = 7,5 m + 3 m/s * 0,745 s - 4,905 m/s^2 * (0,745s)^2 = 7,01 m
Das stimmt also, beim Auftreffen der Kugel befindet sich der Boden des Aufzuges in einer Höhe von 7,01 m.
Ergebnis: die Kugel trifft 3,745 s nach dem Losfahren des Aufzuges und 0,745 s nach dem Loslassen auf dem Boden auf.
vk (0,745s) = 3 m/s - 4,905 m/s^2 * 0,745 s = - 0,65 s
vrel = va - vk
...ups, uns fehlt noch va, also kurze Zwischenrechnung:
va(3,745s) = a * ta = 1 m/s * 3,745 s = 3,745 m/s
und weiter:
vrel = va - vk = 3,745 m/s - ( - 0,65 s) = 4,40 m/s
Ergebnis: die Relativgeschwindigkeit zwischen Aufzugsboden und fallender Kugel beträgt 4,40 m/s
Die Kabine beschleunigt während der Fallzeit weiter, hast du das einberechnet?
Mein Fehler, Koffeinwirkeintrittverzögerungssyndrom!
Hat sie/er, indem er/sie die Fallbeschleunigung mit der Beschleunigung des Aufzugs addiert