Wie beschleunigt die Kugel?

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Ich gehe mal von einer Kugel mit kugelsymmetrischer Massenverteilung aus. (Wenn wir eine Styroporkugel mit exzentrischer Bleieinlage haben, beschleunigt sie offensichtlich nicht gleichmäßig, wenn sie überhaupt losrollt.)

Ja, sie beschleunigt gleichmäßig, da sowohl die Masse als auch die Hangabtriebskraft als auch das (bremsende) Trägheitsmoment konstant sind.

Die Beschleunigung kannst du ausrechnen über die am Mittelpunkt angreifende Hangabtriebskraft und die bremsende Kraft durch die Winkelbeschleunigung. Letztere kannst du aus dem Trägheitsmoment und dem Kugelradius ausrechnen.

Du kannst auch den (momentanen) Auflagepunkt der Kugel als Bezugspunkt nehmen und das Trägheitsmoment um die zugehörige Achse über den Steinerschen Satz ausrechnen. (Geht natürlich auch mit direktem Integrieren, aber wozu einfach, wenn's auch kompliziert geht.)

(Wenn das zu hoch ist - leider hast du nicht dazugesagt, in welcher Klasse / welchem Semester welchen Studienfaches du bist.)

Die Endgeschwindigkeit kannst du z. B. über den Energiesatz ausrechnen (Rotationsenergie mitberücksichtigen!), oder über die Bewegungsgleichungen

v = a t

s = 1/2 a t^2

und hieraus t eliminieren.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium, Hobby, gebe Nachhilfe

Du brauchst halt den Winkel der Ebene zur Waagrechten. Die Erdbeschleunigung von 9,81m/s^2 wirkt senkrecht. Teile die Beschleunigung in zwei Komponenten (waagrecht und in RIchtung der Ebene.

Letztere Komponente wirkt auf die Kugel.

Beispiel 20° Neigung nach unten ==> Beschleunigung in Richtung der Ebene = 9,81m/s^2 * sin(20°) = 3,355.. m / s^2

mit v = a * t berechnest Du die Geschwindigkeit

... gilt nur, wenn die Rotationsenergie der Kugel nicht berücksichtigt wird.

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Unter der Bedingung einer schlupffreien Bewegung und ohne
Luftwiderstand beträgt die Beschleunigung einer Kugel, unabhängig von ihrer
Masse und ihres Kugelradius, auf der geneigten Ebene:

a = 5/7 · g · sin α

Gruß, H.

Bewegung einer schlupffrei rollenden homogenen Kugel auf der
geneigten Ebene

Begriffserkärung

Beim einem homogenen Körper sind die Massenelemente im
gesamten Körper gleichmäßig verteilt, d.h., die Dichte ϱ ist konstant.

  ϱ = m/V = konst.

Die Kugel rollt schlupffrei, wenn die Umfangsgeschwindigkeit  v´ der Kugel und die  Geschwindigkeit  v, mit der sich der Massenmittelpunkt der Kugel hangabwärts bewegt, gleich groß sind.

  v´ = v   

Dazu ist es erforderlich, dass die Hangabtriebskraft kleiner als die Haftreibungskraft ist.

  m · g · sin φ < µ · m · g · cos φ     (φ … Neigungswinkel)

Der Luftwiderstand kann bei einer Kugel mit relativ großer
Masse und kleiner Geschwindigkeit vernachlässigt werden.

Die Ursache für die gleichmäßige Beschleunigung der Kugel
hangabwärts ist die Hangabtriebskraft. Sie setzt sich zusammen aus der Kraftkomponente F1, die die geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Kugel hangabwärts bewirkt und der Kraft F2, die das Drehmoment  M = F2 · r = J · α  und dieses wiederum die Winkelbeschleunigung α
erzeugt.

  m · g · sin φ = m · a + J · α / r         (1)

Das Trägheitsmoment  J der Kugel ermittelt man mittels Integralrechnung.

  J = 2/5 · m · r² 

Es gilt außerdem:  α = a/r 

Mit Gleichung (1) folgt:

  m · g · sin φ = m · a + 2/5 · m · r² a / r²

  g · sin φ = 7/5 · a

  a = 5/7 · g · sin φ

Gruß, H.        

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