Mathe Aufgabe 2. Ableitung Wendepunkte?

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Applwind
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule, Mathematik
12.08.2018, 23:27

Nein, so rechnet man auch nicht. Wir machen die Aufgabe mal zusammen. Weißt du wie man Wendepunkte bestimmst, was das ĂŒberhaupt ist? Wie bestimmt man das KrĂŒmmungsverhalten?
Woher ich das weiß:Hobby – SchĂŒler.
Applwind  13.08.2018, 19:20

ÜberprĂŒfe durch Punktprobe!

x1 = 1,5 x2 = -1,5 wegen f(x) = f(-x)

f‘‘‘(x) = 2x
f‘‘‘(1,5) = 3 > 0 —-> RL W

f‘‘‘(-1.5) = -3 < 0 —-> LR W

Also haben wir : f(1,5) = -135/64= -2,109 und das wegen oben auch fĂŒr x2.

RL-W(3/2 | -135/64) und LR - W (-1,5|-135/64)

Und jetzt Probe :

-135/64 = 1/12*(3/2)^4 - 9/8*(3/2)^2
-135/64 = -135/64

-135 = 1/12 * (-3/2)^4 - 9/8*(-3/2)^2
-135/64 = -135/64

Stimmt alles! Herzlichen GlĂŒckwunsch du hast die Analysis verstanden, nur an deiner Formulierung mĂŒssen wir arbeiten ;).

Applwind  13.08.2018, 10:36

Kein Wunder das du in der Klemme steckst, das stimmt ja auch nicht was du dachtest.

Die Ableitung gibt die Steigung an jedem Punkt des Graphen an. Dabei gibt f‘(x) oder f^1(x) die Steigung von f(x) oder f^0(x) an.

Suchst du Extremas also den höchsten oder niedrigsten Punkt in der unmittelbaren Umgebung so musst du f‘(x) = 0 setzen, denn die Ableitung einer Stelle x0 ist definiert durch den Grenzwert des Differenzenquotienten
lim ( f(x) - f(x0)/(x-x0)  und das ist die Tangentensteigung.
x1-> x0

Die Tangente ist also die Ableitung an einem Punkt x0. Bei einem Extrema ist die Steigung 0 was man an einem Graphen sehr gut sehen kann. Steigung = Ableitung also gilt deswegen f‘(x) = 0. Da es aber auch nicht nur eine Art Extrema gibt, sondern Hoch,Tief und Sattelpunkte die auch eine horizontale Tangente aufweisen können, musst du die Steigung der Ableitung untersuchen die gibt ja auch die KrĂŒmmung an. Ist f‘‘(x) > 0 -> Tiefpunkt, denn hier wird die Steigung erstmal negativ und dann positiv also > 0. Ist f‘‘(x) < 0 ist die Steigung erstmal positiv, aber dann negativ. Deswegen setzt du deine gefundenen Werte in f‘‘(x) ein. Musst du aber nicht f‘(x) wĂŒrde auch reichen, du mĂŒsstest halt eine Intervallpunktierung machen.

FĂŒr einen Wendepunkt gilt f‘‘(x) = 0 , da f‘‘(x) das KrĂŒmmungsverhalten angibt und bei einem Wendepunkt ist die KrĂŒmmung gleich 0. Um zu prĂŒfen ob es sich um ein Wendepunkt handelt mĂŒsstest du noch f‘‘‘(x) bilden, aber manchmal versagt das auch...

Um das KrĂŒmmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen gelten folgende Bedingungen:

f‘‘(x) > 0 —-> linksgekrĂŒmmt
f‘‘(x) < 0 —-> rechtsgekrĂŒmmt
FĂŒr einen Wendepunkt gilt :
f‘‘(x) = 0

f‘‘‘(x) > 0 —-> RL Wendepunkt
f‘‘‘(x) < 0 —-> LR Wendepunkt

Warum gilt das untere?

Wenn du dir eine Funktion f(x) = ax^3 + bx^2+cx+d mit a u 0 anschaust wirst du folgendes feststellen. Diese Funktion kann maximal nur einen Wendepunkt haben. Also perfekt um die Bedingungen herzuleiten.

Bei einem Wendepunkt Ă€ndert sich die KrĂŒmmung von konvex zu konkav oder zu konkav zu konvex.

Ist also der Graph zuerst linksgekrĂŒmmt dann ist der Graph nach dem Wendepunkt rechtsgekrĂŒmmt die Steigung der Steigung von f‘‘(x) also f‘‘‘(x) ist <  0 , also gilt f‘‘‘(x) < 0 fĂŒr LR W.

Ist der Graph hingegen rechtsgekrĂŒmmt und nach dem Wendepunkt linksgekrĂŒmmt ist die Steigung von f‘‘‘(x) > 0 also gilt RL W.

Merke :

f(x) <- f‘(x)            -> f‘‘(x) <- f‘‘‘(x)
Steigung von f(x)        Steigung von f‘‘(x)

Also zusammengefasst folgende Bedingungen:
Notwendige Bedingung fĂŒr ein Extrema :
f‘(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
f‘‘(x) > 0 -> Tiefpunkt
f‘‘(x) < 0 -> Hochpunkt
Notwendige Bedingung fĂŒr eine Wendestelle :
f‘‘(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
f‘‘‘(x) u 0
f‘‘‘(x) > 0 -> RL W
f‘‘‘(x) < 0 -> LR W

Sieht doch schon ein bisschen geordneter aus.

Als Beispiel fĂŒr Bedingung 1 könnte man f(x) = x^2+4x+3, x € IR nehmen.

f(x) = x^2+4x+3
f‘(x) = 2x + 4
f‘‘(x) = 2
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
f‘‘(-2) = 2 > 0 -> Tiefpunkt
f(-2) = (-2)^2+4*(-2)+3 = -1
TP(-2/-1)

Und weil der Tiefpunkt auch nur ein Punkt auf dem Graphen ist :

-1 = (-2)^2 + 4*(-2)+3
-1 = 4 - 8 + 3
-1 = -1 Wunderbar

Beispiel fĂŒr Bedingung 2 :
f(x) = -x^3+3x+2, x € IR

f(x) = -x^3 + 3x + 2
f‘(x) = -3x^2 + 6
f‘‘(x) = -6x
f‘‘‘(x) = -6
-6x = 0
x = 0
f‘‘‘(0) = -6 < 0 -> LR W
f(0) = -0^3 + 3*0 + 2 = 2
LR - W (0/2)

Und :

2 = -0^3 + 3*0 + 2
2 = 2

Wie gesagt wir können die Aufgabe noch gemeinsam angehen.

kkkkkkk000001 
Beitragsersteller
 13.08.2018, 16:42
@Applwind

Danke fĂŒr deine MĂŒhe!! Mit Beispielen lerne ich viel schneller Hahah Hab jetzt alles verstanden und zurueck zu meiner Aufgabe: f"(x)= 12/144x^2-9/4 = 0 (man tut die 9/4 auf die andere seite und dann nimmt man die +-wurzel vom ergebnis also) x1=1,5 und x2=-1.5 danach habe ich die beiden x-Werte in f' ' '(x)= 2x eingesetzt da kam raus 3>0 also RL W und -3<0 LR W

kkkkkkk000001 
Beitragsersteller
 13.08.2018, 02:26

Sorry ist bisschen anstrengend mit mir hahah ich versuch mir das alles selbst beizubringen aber hab mich nur selbst verwirrt

kkkkkkk000001 
Beitragsersteller
 13.08.2018, 02:16

Also ich habe es so verstanden dass man um ein Wendepunkt zu bestimmen erstmal die 1. und 2. Ableitung macht danach setzt man die erste Ableitung =0 und die Werte setzt man dann in die 2. Ableitung um zu gucken ob es rechtslinks oder linksrechts gekruemmt ist

kkkkkkk000001 
Beitragsersteller
 13.08.2018, 02:20
@kkkkkkk000001

sorry hab da was verwechselt. Man muss auch die 3. Ableitung machen. Die 2. Ableitung setzt man =0 und die Werte die herauskommen setzt man dann in die 3. Ableitung

dongodongo
13.08.2018, 10:14

Sei die Notation wie in der Angabe. P=(x,y) ist Wendepunkt von G_f genau dann wenn f^{(2)}(x)=0 und f^{(3)}\neq 0. Zu finden ist also zuerst die Nullstellenmenge durch Nullsetzen der zweiten Ableitung des Ausdrucks f(x). Anschließend verifiziere man, dass fĂŒr jeden Wert von x in jener Menge die dritte Ableitung von f an dieser Stelle von 0 verschieden ist. Die Ableitungen sind schnell gefunden f(x)=x^4/12-9/8*x^2 => f'(x)=x^3/3-9/4*x=>f''(x)=x^2-9/4 => f'''(x)=2*x. Nullsetzen der zweiten Ableitung liefert x = 3/2 oder x= -3/2. Da der Absolubetrag in beiden FĂ€llen von 0 verschieden ist, folgt aus f'''(x)=2*x linear sofort, dass die dritte Ableitung von f fĂŒr jeden der beiden Werte von x von 0 verschieden ist. Damit liefert das obige notwendige und hinreichende Kriterium fĂŒr Wendepunkte, dass die Menge W der Wendepunkte gegeben ist durch W={(-3/2,f(-3/2)),(3/2,f(3/2))}. Es ist leicht zu sehen, dass fĂŒr beliebige x in R gilt f(x)=f(-x), so dass insbesondere f(3/2)=f(-3/2). Damit ergibt sich f(3/2)=3^4/(2^6*3)-3^4/2^5 = (-2*3^4+3^3)/2^6 =(-162+27)/(64)=-135/64. Per Augenmaß stimmt das gant gut mit dem Wert aus der Graphik ĂŒberein, sollte aber nochmal in Ruhe nachgerechnet werden. Damit finden wir W = {(-3/2,-135/64),(3/2,-135/64)}.

VG

dongodongo
Woher ich das weiß:Berufserfahrung
fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Gleichungen
13.08.2018, 01:48

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt, "Kurvendiskussion"

Bedingung "Wendepunkt" fÂŽÂŽ(x)=0 und fÂŽÂŽÂŽ(x) ungleich Null

f(x)=1/12*x^4-9/8*x^2 abgeleitet

fÂŽ(x)=4/12*x^3-18/8*x=1/3-9/4*x

fÂŽÂŽ(x)=0=3/3*x^2-9/4=x^2-9/4 Nullstellen bei x1,2=+/- Wurzel(9/4)=+/- 2,1213..

also bei x1=2,1213 und x2=-2,1213 es gibt nur diese 2 Wendepunkte

fÂŽÂŽÂŽ(x)=2*x ungleich NULL

Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen (konkav/konvex)

KrĂŒmmung k=yÂŽÂŽ/(1+(yÂŽ)^2)^(3/2)

von oben "konvex" (RechtskrĂŒmmung) wenn k<0

"konkav" (LinkskrĂŒmmung) wenn k>0

yÂŽÂŽ=fÂŽÂŽ(x) ist die 2.te Ableitung von f(x)

k<0 wenn yÂŽÂŽ=fÂŽÂŽ(x)=negativ

k>0 wenn yÂŽÂŽ=fÂŽÂŽ(x)=positiv
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
Applwind  13.08.2018, 10:45

Nimm es nicht persönlich, aber Bedingungen rein klatschen finde ich nicht gut. Der SchĂŒler/in soll das Thema 100% verstehen und sich nicht an Bedingungen angeln, schlimmer auswendig lernen.

Aber sag mal was fĂŒr eine Formelsammlung benutzt du denn?

fjf100  13.08.2018, 11:11
@Applwind

Mein Mathe-Formelbuch hat 580 Seiten mit Formeln,Zeichnungen und kleinen Beispielaufgaben.

"Taschenbuch Mathematischer Formeln" Bartsch, Verlag Harri Deutsch Thun und FrankfurtMain

VEB 8Volkseigener Betrieb) Fachbuchverlag Leipzig 1985 ,gibtÂŽs net mehr

Alleine Kapitel "trigonometrische Funktionen" sind 10 Seiten mit Formeln.

Kann man gar nicht alle auswendig lernen.

Hinweis: Bedingung Wendepunkt ist nun mal fÂŽÂŽ(x)=0 und fÂŽÂŽÂŽ(x) ungleich Null.

Ohne dieses Wissen,kann man das nicht rechnen.

Ich habe 186 "hilfreichste Antworten" von den SchĂŒlern bekommen.

Meine ErklÀrungen waren besser,als die der Pauker in der Schule!!
kkkkkkk000001 
Beitragsersteller
 13.08.2018, 02:24

Dankesehr <3
Brainchild
12.08.2018, 22:54

Du bildest zuerst die Ableitung der Funktion. Diese stellt die Steigung der Funktion dar. Nur wenn die Steigung 0 wird kann es einen Wendepunkt geben. Also setzst du die Ableitung gleich 0 und bestimmst die Lösung (Nullstellen) der Gleichung. Falls die Ableitung vor dem Nullpunkt ein anderes Vorzeichen hat, als danach, so liegt ein Wendepunkt vor, ansonsten ein Sattelpunkt.

Durch Ausklammen von Binomen kannst du auch Nullstellen finden.
Woher ich das weiß:Berufserfahrung – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.