(Kurvendetektiv) Ich komme mit der Aufgabe nicht weiter!?
Von einer Funktion f ist die Ableitung f´ bekannt: f´(x)= -x^2+6x.
- Für welche x- Werte ist f monoton wachsend?
- Für welche x-Werte ist der Graf der Funktion f links gekrümmt oder rechts gekrümmt?
- An welcher Stelle hat der Graf der Funktion f seine maximale Steigung?
- In welchen Intervallen sind Grafen der Funktion g, h und k monoton wachsen, links gekrümmt Oder rechts gekrümmt, wenn folgende Ableitungen bekannt sind:
g´(x)=x^2+1
h´(x)=-3x+2
k´(x)=x^2-5x+6
und wie lautet deine Frage?
wie soll die Aufgabe gehen?
2 Antworten
einfach eine Kurvendiskussion durchführen
3)
Steigung f´(x)=m=-1*x²+6*x
f´´(x)=0=-2*x+6 → Nullstelle bei x=6/2=3
f´´´(x)=-2<0 also ein Maximum Steigung f´(3)=-1*3²+6*3=-9+18=9
1) f´(x)=-1*x²+6*x Parabel allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
a2=Streckungsfaktor (Formfaktor)
a2>0 Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden
a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden
a2=-1 Parabel nach unten offen Maximum vorhanden
xs=-(6)/[2*(-1)]=-6/-2=3 und ys=-(6)²/[4*(-1)]+0=-36/-4=9
Scheitelpunkt bei Ps(3/9)
0=-1*x²+6*x dividiert durch -1
0=x²-6*x hat die gemischquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstelle bei
x1=0 und x2=-p
x2=-(-6)=6
Steigung f´(x)=m=-1*x²+6*x m<0 wenn x<0
f´(-1)=-1*(-1)²+6*(-1)=-1-6=-7<0 stimmt
und wenn x>6
f´(7)=-1*7²+6*7=-49+42=-7<0 stimmt
monoton wachsend wenn f´(x)=m>0 wenn 0<x<6
waagerechte Tangente im Scheitelpunkt Ps(3/9) → xs=3
2) siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialgeometrie,Krümmung
k=y´´/[1+(y´)²]^(3/2)
1) k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben gesehen)
2) k>0 konkav (Linkskrümmung,von oben gesehen)
Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x)≠0
Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen voneinander konvex und konkav
also f´´(x)=0=-2*x+6 → xw=6/2=3
bei y´´=f´´(x) findet also ein Vorzeichenwechsel statt.
Probe: f´´(2,9)=-2*2,9+6=0,2 und f´´(3,1)=-2*3,1+6=-0,2
Bei x=3 Krümmungswechsel findet statt
Den Rest schaffst du selber.
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Du musst bei dieser aufgabe einfach nutzen, dass die ableitung die steigung angibt.