Monotonie? f'(x)=0?

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7 Antworten

Wenn die Ableitung einer Funktion f'(x)=0 ist,

Du meinst damit, dass die Ableitung konstant gleich 0 ist, richtig? f selbst war dann eine auch eine konstante Funktion, eine Parallele zur x-Achse (auch, dass f selbst bereits konstant gleich 0 war, also mit der x-Achse identisch ist, ist natürlich möglich).

Jedenfalls, der Funktionsgraph von f ist eine waagerechte Gerade.

ist die Funktion dann monoton wachsend und fallend oder nichts von beiden?

Beides!

Man unterscheidet zwischen monoton wachsend/fallend einerseits und streng monoton wachsend/fallend andererseits.

  • monoton wachsend: x1<x2 => f(x1) ≤ f(x2)
  • monoton fallend: x1<x2 => f(x1) ≥ f(x2)

Beachte, dass rechts "kleinergleich" bzw "größergleich" steht.

Dagegen:

  • streng monoton wachsend: x1<x2 => f(x1) < f(x2)
  • streng monoton fallend: x1<x2 => f(x1) > f(x2)

Hier steht rechts jeweils "kleiner" bzw "größer".

Das macht: Deine Funktion ist monoton wachsend und monoton fallend, aber weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.

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Nichts von beidem, f(x) mit f'(x)=0, also Steigung 0, is ne Gerade parallel zur x-Achse.

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Ähem, nein.
Wenn f'x)=0 ist, heißt dass das f(x) ne Konstante ist, wie z.B. f(x)=5 oder so.

Da die Ableitung letztlich ne Steigung angibt, heißt f'(x)=0 dass die Steigung 0 ist, also, der Funktionswert f(x) konstant ist.

Beispiel:
sagen wir f(x)=3.

Dann seien irgendwelche a, b beliebig gewählt, allerdings sodass a<b.
Dann ist f(b)=3=f(a).
Also f(a)=f(b).

Wenn du jetzt in deine Kriterien für monotonie guckst, erkennst du dass f(b)>=f(a)und gleichzeitig f(b)<=f(a).

Also gleichzeitig monoton steigend und fallend!

Allerdings nicht streng monoton (da hier ja gerade das = nicht vorkommt!).

Von daher ist das hier gleichzeitig monoton steigend und fallend,
Auch wenn man in der Realität bei so einem Fall erst gar nicht von Monotonie reden würde, sondern einfach davon dass f'(x) gleich Null ist und f(x) demnach ne konstante Funktion ist.

Aber von der Definition her trifft es auf jeden Fall zu.

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Hallo,

dazu solltest du dir nochmal anschauen wie ihr Monotonie genau definiert habt. So wie ich es kenne wäre die Funktion sowohl monoton steigend als auch monoton fallend, aber weder streng monoton steigend noch streng monoton fallend.

Die Definitionen wie ich sie kenne kannst du auf Wikipedia unter Monotonie nachlesen, außerdem findest du da auch ein Beispiel für eine konstante Folge.

Warum die Funktion konstant ist, ist dir klar, oder?

mfg
Ennte

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Bei y=0 handelt es sich um eine Konstante, die keine Monotonie besitzt. LG Dominik.

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Kommentar von Ennte
05.12.2013, 19:27

warum nicht? Und wer sagt was von y = 0?

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Keins von beidem, denn egal welchen Punkt auf der x Achse du wählst, wird die Gerade immer auf der Höhe 0 liegen. Es ist also eine Gerade auf der x Achse

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Kommentar von Ennte
05.12.2013, 19:22

willst du mir verraten, warum die Gerade auf der x-Achse liegen muss? Und warum sie deshalb nicht monoton sein soll?

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Kommentar von densch92
10.12.2016, 22:19

Falsch.
Ableitung=0 heißt nicht dass auch f(x)=0 ist.

Gegenbeweis:
f(x)=5
f'(x)=0

Allerdings dass es eine Gerade mit Steigung Null ist, dem stimme ich zu

0

Hi,

wenn f'(x)=0 , kann f(x) nur ne konstante sein. (z.B. f(x)=3). Und Konstanten haben keine Monotonie.

Kesselwagen :)

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Kommentar von Ennte
05.12.2013, 19:21

warum haben Konstanten keine Monotonie? Die Definition die ich kenne schließt Konstanten nicht explizit aus.

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