Monotonie? f'(x)=0?

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Wenn die Ableitung einer Funktion f'(x)=0 ist,

Du meinst damit, dass die Ableitung konstant gleich 0 ist, richtig? f selbst war dann eine auch eine konstante Funktion, eine Parallele zur x-Achse (auch, dass f selbst bereits konstant gleich 0 war, also mit der x-Achse identisch ist, ist natürlich möglich).

Jedenfalls, der Funktionsgraph von f ist eine waagerechte Gerade.

ist die Funktion dann monoton wachsend und fallend oder nichts von beiden?

Beides!

Man unterscheidet zwischen monoton wachsend/fallend einerseits und streng monoton wachsend/fallend andererseits.

  • monoton wachsend: x1<x2 => f(x1) ≤ f(x2)
  • monoton fallend: x1<x2 => f(x1) ≥ f(x2)

Beachte, dass rechts "kleinergleich" bzw "größergleich" steht.

Dagegen:

  • streng monoton wachsend: x1<x2 => f(x1) < f(x2)
  • streng monoton fallend: x1<x2 => f(x1) > f(x2)

Hier steht rechts jeweils "kleiner" bzw "größer".

Das macht: Deine Funktion ist monoton wachsend und monoton fallend, aber weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.

Ähem, nein.
Wenn f'x)=0 ist, heißt dass das f(x) ne Konstante ist, wie z.B. f(x)=5 oder so.

Da die Ableitung letztlich ne Steigung angibt, heißt f'(x)=0 dass die Steigung 0 ist, also, der Funktionswert f(x) konstant ist.

Beispiel:
sagen wir f(x)=3.

Dann seien irgendwelche a, b beliebig gewählt, allerdings sodass a<b.
Dann ist f(b)=3=f(a).
Also f(a)=f(b).

Wenn du jetzt in deine Kriterien für monotonie guckst, erkennst du dass f(b)>=f(a)und gleichzeitig f(b)<=f(a).

Also gleichzeitig monoton steigend und fallend!

Allerdings nicht streng monoton (da hier ja gerade das = nicht vorkommt!).

Von daher ist das hier gleichzeitig monoton steigend und fallend,
Auch wenn man in der Realität bei so einem Fall erst gar nicht von Monotonie reden würde, sondern einfach davon dass f'(x) gleich Null ist und f(x) demnach ne konstante Funktion ist.

Aber von der Definition her trifft es auf jeden Fall zu.

Hi,

wenn f'(x)=0 , kann f(x) nur ne konstante sein. (z.B. f(x)=3). Und Konstanten haben keine Monotonie.

Kesselwagen :)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterstudent in Elektrotechnik 🤓

warum haben Konstanten keine Monotonie? Die Definition die ich kenne schließt Konstanten nicht explizit aus.

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@Ennte

sowohl monoton steigend als auch monoton fallend

Das wäre schon besser zutreffend.

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Nichts von beidem, f(x) mit f'(x)=0, also Steigung 0, is ne Gerade parallel zur x-Achse.

Bei y=0 handelt es sich um eine Konstante, die keine Monotonie besitzt. LG Dominik.

warum nicht? Und wer sagt was von y = 0?

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@Ennte

dann eben y' = 0, denn f'(x) ist der Funktionswert von x, was automatisch y ist. Wenn dieser Funktionswert sich nicht in Abhängigkeit von x ändert, herrscht keine Monotonie, da der Funktionswert bei jedem beliebigen x 0 sein wird. LG Dominik

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