Monotonie von Funktion mit Gaußklammer?

Hey, ich soll zeige, dass folgende Funktion von R nach R streng monoton wachsend ist. also für x<y gilt f(x)<f(y)

ich habe mir überlegt zwei Fälle anzusehen.

1 Fall: [x]=[y] offensichtlich, da wurzelfunktion streng monoton wachsend
2 Fall: [x]<[y] es ist dann doch für bel. a∈R sqrt(a-[a])∈[0,1), aber [y]>=[x]+1 und weil das ja ein offenes Intervall ist, gilt die strenge Monotonie oder?

Würde das von der Argumentation so passen?

Answer 1

[Slevi89]

Also ich wäre über die Ableitung gegangen. Aber ist ja im Prinzip egal.

Jedoch ist mir schon bei der Fallunterscheidung aufgefallen:

Für x>= 0 gilt f(x) = x + Wurzel( x - x) = x

Ableitung ergibt f'(x) = 1 -> streng monoton wachsend.

Den Fall x < 0 hätte ich jetzt so defniert: Sei x = -1*z für alle z > 0

folgt f(z) = z +Wurzel( -z - z) = z + Wurzel ( -2z) , was im Reellen keine Lösung hat.

Von daher ist die Lösung lediglich f(x) = x, das wird dir auch ein Funktionsplotter zeigen