Auf Monotonie untersuchen
Hallo,
Ich übe gerade nochmal für eine Mathearbeit, verstehe aber drei Aufgaben nicht. Habe die Lösungen, aber nicht wie man darauf kommt. Wenn die Funktion f einmal f(x)= 3x+2 ist, dann ist ja die Ableitung f'(x)= 3. Bei den Lösungen steht dann: f ist im Intervall I= R streng monoton wachsend. Aber wieso?
Dann gibt es noch eine Aufgabe, wo man die Funktion f(x)= -9 hat. In den Lösungen steht: f ist im Intervall I= R monoton wachsend UND monoton fallend. Wieso?
Und die dritte Aufgabe: f(x)= -x^5 -x, Ableitung f'(x)= -5x^4 - 1. Aber wie komm ich dann auf die Nullstellen? Komme da nicht weiter. Da ist die Lösung dass es im Intervall I= R streng monoton fallend ist.
Ich danke JEDEM für eine Antwort. Bitte helft mir :) Dankeschön :)
4 Antworten
1) ne Gerade mit positver Steigung ist überall monoton wachsend.
und 2) f(x)=-9 ist ne konstante Funktion
3) Nullstellen -x^5 - x = 0 → -x(x^4+1)=0 also x1 = 0
Nullstellen von f ' gibt es hier nicht; also kein Extremwert, also in ganz IR str. mon. stg oder fallend und wegen f ' = -5x^4.... fallend
streng monoton bedeutet: f´(x) != 0 für alle x.
wenn f´(x) > 0 für alle x ist dann steigt die kurve streng monoton. (in deinem fall ist es eine gerade) stell dir das anschaulich vor. monoton ist etwas gleichbleibendes, wenn etwas immer steigt ist es streng monoton wachsend
streng monoton bedeutet: f´(x) != 0 für alle x.
In der Schule hab ich auch mal gesagt, und habe vom Lehrer als Gegenbeispiel f(x) = x^3 genannt bekommen. Es handelt sich hier um eine nicht-umkehrbare Implikation.
? x^3 ist ja eben nicht streng monoton? weil 3x^2 für x= 0 eben 0 ist ich verstehe deinen kommentar nicht?
Die erste Aufgabe hat Ellejolka m. E. schon ausreichend beantwortet.
Zur 2. Aufgabe: Schau dir nochmal die Definition von monoton wachsend / fallend an (ohne "streng"):
f monoton steigend :<=> f. a. x, y: x <= y => f(x) <= f(y)
f monoton fallend :<=> f. a. x, y: x <= y => f(x) >= f(y)
Auf der rechten Seite der Implikationen gilt in der 2. Aufgabe immer "=", die Aussage ist also wahr, damit ist die Implikation wahr und damit die Definition erfüllt.
Zur 3. Aufgabe:
f'(x) = - 5 x^4 - 1 lässt sich umschreiben als
f'(x) = - 5 (x^2)^2 - 1
Der erste Summand kann nicht positiv werden, da (x^2)^2 als Quadrat niemals negativ werden kann.
siehe im Mathematik-Formelbuch nach unter Funktionen,Lokale Monotomie
lokal monoton wachsend wenn f(x) < f(xo) und f´(xo) > gleich 0 " " f(x) > f(x0) und f´(x0) < gleich 0
lokal monoton fallend wenn f(x) > f(xo) und f´(xo) > gleich 0 " " " f(x) < f(xo) und f´(xo) < gleich 0
xo = ist die untersuchte Stelle
f(x) ist die Stelle an der Funktion ,einmal ist x < xo oder x> xo
y= m *x + b ,dies ist eine Gerade.Ist m positiv ,dann steigt sie. Ist m negativ,dann fällt sie