Vorzeichenregeln

Plus mal Plus ergibt Plus

Minus mal Plus ergibt Minus

Plus mal Minus ergibt Minus

Minus mal Minus ergibt Plus

Beispiel: (-2)*(-2)=4 rechne das mit deinem Rechner,weil da die Vorzeichenregeln installiert sind

(-2)²=(-2)*(-2)=4

-1*2²=-1*2*2=-1*4=-4

-2² bedeutet -1*2²

Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung

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siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Geometrie,Volumenberechnung

Oberfläche Kugel Ok=4*pi*r²=pi*d² → Halbkugel Ok=2*pi*r²

Oberfläche Matelfläche vom Kegel Om=pi*r*s

Gesamtoberflöche Oges=Ok+Om=2*pi*r²+pi*s*r

0=2*pi*r²+pi*s*r-Oges

0=2*pi*r²+pi*80,8*r-13270 cm² → 132,7 dm²=13270 cm²

→ 1 dm²=10 cm*10 cm=100 cm

Das ist eine Parabel der Form 0=a*x²+b*x+c

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) r1=29,999..cm=30 cm

r2=-70,39..cm

also r=30 cm

Volumen einer Kugel Vk=4/3*pi*r³ → Halbkugel Vhk=2/3*pi*r³

Volumen Kegel Vkegel=1/3*pi*r²*h

Gesamtvolumen Vges=Vhk+Vkegel=2/3*pi*r³+1/3*pi*r²*h

Satz des Pythagoras c²=a²+b²

s²=r²+h²

Betrag h=Wurzel(s²-r²)=W(80,8²-30²)=75,024 cm

Den Rest schaffst du selber.

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Lineare Abhängigkeit bei Vektoren, stehe auf dem Schlauch?

in der Schule haben wir besprochen, dass, wenn die Vektoren linear abhängig sind, gilt: (Vektor 1)= r*(Vektor 2) +s*(Vektor 3)

weil ich das Thema aber nicht so sehr verstehe, habe ich auch danach gegoogelt, und da steht plötzlich überall stattdessen

R*(Vektor 1)+s*(Vektor 2)+t*(Vektor 3)=0

also wir machen das auch mit den linearen Gleichungssystemen aus 3 Gleichungen, allerdings immer mit der oberen Formel, und von der unteren hatte ich noch nie was gehört.

-Wie ist das denn jetzt, bzw welche Formel ist richtig? :(

-Also generell verstehe ich auch nicht richtig den Unterschied, was eine Linearkombination ist, und was Linear abhängig? :O

Zur Info, gauß-algorithmus hatten wir auch nicht.

Und noch mal zur Formel, damit berechnet man ja, ob die Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind.

-Aber wie ist das z.b., wenn nur zwei davon linear abhängig sind, weil da ja manchmal z.b. steht " zeichnen Sie die Repräsentanten Dreier Vektoren, von denen zwei linear unabhängig, alle drei aber linear abhängig sind"? Gibt es da wohl Unterschiede, das es bei allen Vektoren anders ist als bei einzelnen??

Sorry für diese sehr lange Frage, hatte in diesem Thema von vorneherein Schwierigkeiten, und versuche gerade, alles durchzugehen und es so gut wie möglich zu verstehen, was aber irgendwie nicht gerade gelingt.

Zur Info, die grundlegenden Fragen sind mit einem Bindestrich Markiert. Bin dankbar um jede Antwort! :D

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kollineare Vektoren liegen parallel zueinander und können aber unterschiedliche Längen

Formel a*x=b → a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)

Beispiel: a(1/2/3) und b(2/4/6) → (1/2/3)*2=(2/4/6)

komplanare Vektoren sind 3 Vektoren,die alle in einer Ebene liegen

Das bedeutet,dass sich mindestens einer der beteiligten Vektoren als Linear-kombination der restlichen Vektoren darstellen läßt

c=a+b mit a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) ergibt c(cx/cy/cz) ist eine Vektoraddition

nun werden die beiden Parameter r und s (sind nur Zahlen),ergibt

c=r*a+s*b nennt man eine Linearkombination

Man kann aus den beiden Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) beliebig viele Vektoren produzieren (weil r und s frei wählbar)

Satz:Drei Vektoren a,b und c sind genau dann komplanar,wenn es drei reelle Zahlen,r,s und t gibt,die nicht alle gleich NULL sind.

r*a+s*b+t*c=0

Hinweis:Nicht jeder dieser 3 Vektoren a,b und c,die in einer Ebene liegen,muß als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellbar sein.

Beispiel:a(-2/6/-8) und b(1/-3/4) und c(1/1/0)

Vektor a als Linearkombination a=(-2)*(1/-3/4)+0*(1/1/0) a,b u. c komplanar

Vektor c ist aber nicht als Linearkombination von a und b darstellbar.

(1/1/0)=r*(-2/6/-8)+s*(1/-3/4) wir setzen s=1

(1/1/0)=r*(-2/6/-8)+(1/-3/4)

(1/1/0)-(1/-3/4)=(0/4/-4)

(0/4/-4)=r*(-2/6/8)

x-Richtung: 0=r*(-2) → r=0

y-Richtung: 4=r*6 → r=4/6=2/3 Widerspruch

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siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,Geometrie,Kreisberechnung

Kreisumfang U=2*r*pi Wurfweite r=75 m

Immer zuerst eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat.

bei einen Winkel von (a)=40° ergibt sich eine Bogenlänge von

1° wäre U/360° weil ja eine Vollkreis 360° hat.

also s=U/360°*40°=2*75 m*pi/360°*40°=52,3589..m=52,36 m

diese Strecke s=52,36 wird in 2 Teillängen aufgeteilt s=s1+s2 mit s1/s2=2/3

s1=s-s2 → (s-s2)/s2=2/3

s-s2=2/3*s2

s=2/3*s2+s2=s2*(2/3+1)=s2*(2/3+3/3)=s2*5/3

s2=s*3/5=52,36 m*3/5=31,416 m

s=s1+s2 → s1=s-s2=52,36 m-31,416 m=20,944 m

Probe: 20,944 m/31,416 m=0,666..=2/3 stimmt

b) s=U/360°*(a)=2*r*pi/360°*(a) → (a)=20°+15°=35°

s=2*75 m*pi/360°*35°=45,81..m

Was nun ausgerechnet ausgerechnet werden soll,dass weiß ist nicht,weil ich keine Zeichnung habe.

wird auf jeden Fall mit s=U/360°*(a)=2*r*pi/360°*(a) berechnet

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20) Umfang U=2*r*pi

r=36,8 m+0,3 m=37,1 m

1) l=l1+l2+2*r*pi → 2*r*pi=Kreisumfang

2) l1=l2=x sind die beiden Geraden

2 )in 1)

l=400 m=x+x+2*r*pi=2*x+2*r*pi

2*x=400-2*r*pi

x=(400 m-2*37,1 m*pi)/2=83,4469..m=83,45 m eine Gerade

Zielgerade ist auf der Hälfte s=83,45 m/2=41,72 m

b) r=36,8m

Länge Innenkante Li=83,45 m*2+2*36,8 m*pi=398,12 m

Den Rest schaffst du selber,ist nur eine Kreisberechnung plus die beiden Geraden.

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Die einzelnen Eckpunkte kannst du aus der Zeichnung ablesen.

Eine wichtige Information fehlt hier:Der Ursprung des x-y-z-Koordinatensystems liegt in der Mitte der Grundfläche.

x1=x und x2=y und x3=z

aus der Zeichnung A(-2/-2/0) gegenüber der x-Achse D(-2/2/0)

H(-2/2/5) Punkt G(2/2/5) gegenüber x2-Achse direkt darunter C(2/2/0)

Punkt B(2/-2/0) gegenüber von Punkt A(-2/-2/0)

E(-2/-2/5) senkrecht über A(-2/-2/0)

F(2/-2/5) senkrecht über B(2/-2/0)

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Volumen vom Würfel V=a*a*a=a³

V(a)=a³ abgeleitet V´(a)=3*a^(3-1)=3*a²

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,Differentialrechnung,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

Konstantenregel (a*f(x))´=a*f´(x)

Potenzregel (x^(k))´=k*x^(k-1) mit x≠0 für k<0

Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

Ist die Sekantensteigung durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

eine Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte

geht nun das Intervall x2-x1 gegen NULL,so erhält man den

Differentialquotient y´=dy/dx=f´(x)

Das ist die Steigung f´(x)=m an der Funktion f(x)=...

V´(a)=3*a² ist eine Parabel der Form y=f(x)=a*x²

Damit steigt die Steigung f´(x)=m stark an,wenn sich a vergrößert

V(a)=a³ → ein 8-fache Volumen,wenn sich a verdoppelt

a=2 cm → V1=(2 cm)³=8 cm³

a=4 cm → V2=(4 cm)³=64 cm³

V2/V1=64 cm³/8 cm³=8

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https://www.mathelounge.de → nur Mathematik,auch speziell,ist kostenlos.

Stochastik,Funktionen,Matrixen,usw

Anmeldung,wie hier bei Gutefrage

1) Nutzernamen eingeben (kann frei gewählt werden)

2) E-Mailadresse eingeben (damit man dich informieren kann)

3) Passwort eingeben (ist frei wählbar,geheim halten,darfst nur du wissen)

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5) wir haben hier 2 Bewegungen in x-Richtung und y-Richtung,die unabhängig voneinander behandelt werden können

Die Beschleunigung a,die Geschwindigkeit v und der Weg s sind Vektoren.

Wenn also eine Geschwindigkeit in x-Richtung und y-Richtung vorliegt,dann ist die resultierende Geschwindigkeit ein Vektoraddition vres=vx+vy

Kleinbuchstaben benutzt man bei Vektoren.Über den kleinen Buchstaben ist ein kleiner Pfeil (kann ich hier nicht darstellen),damit man weiß,dass es sich hier um ein Vektor handelt

Satz des Pythagoras c²=a²+b²

Die Geschwindigkeitsvektoren vx und vy bilden ein rechtwinkliges Dreieck

Betrag vres= Wurzel(vx²+vy²)

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siehe Physik-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Federkraft Ff=D*s

Federspannarbeit Wf=1/2*D*s²

s=6,3 cm=0,063 m

D=4,8 N/m

Ff=4,8 N/m*0,063 m=0,33024 N (Newton)

Wf=1/2*4,8 N/m*(0,063 m)²=9,525.*10^(-3) Nm=0,009525 Nm

1 Nm=1 J (Joule)

1000 Nm=1000 J=1 kJ (Kilojoule)

b) Gleichgewichtsbedingung:Die Summe aller Kräfte in eine Richtung sind zu jedem Zeitpunkt gleich NULL.

Merke:Eien Masse m verharrt in ihrem Bewegungszustand,so lange keine äußere Kraft auf sie einwirkt.Wirkt eine äußere Kraft auf die Masse m ein,so reagiert diese mit einer gleichgroßen Gegenkraft F=m*a (Trägheitskraft).

Gleichgewichtsbedingen bei´m ausgelenkten Federpendel

F+Ff=0

F=m*a Trägheitskraft

Ff=D*s Federkraft

m*a+D*s=0 dividiert durch m

a+D/m*s=0

a=Beschleunigung → a=dv/dt=V´(t)=S´´(t) ist die 2.te Ableitung des Weges S(t)=.. nach der Zeit t

wir haben hier die Differentialgleichung (Dgl) vorliegen

s´´+c*s=0

in der Literatur findet man s´´+wo²*s=0

hier wo²=D/m → wo=Wurzel(D/m)

Die allgemeine Lösung dieser Dgl ist S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)

aus der Mathematik y=f(x)=sin(x) und y=f(x)=cos(x) sind harmonische Schwingungen

c) Wird das Federpendel losgelassen,so wird die Federspannarbeit Wf in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt.

Energieerhaltungssatz → Energie geht nicht verloren

Wf=Ekin

1/2*D*s²=1/2*m*v²

D*s²/m=v²

Betrag v=Wurzel(D*s²/m)=Wurzel(4,8 N/m*(0,063 m)²/0,1 kg)=0,436..m/s

Hinweis:Es gibt nur die 2 einfachen Schwingungsgleichungen in der Mathematik

1) f(x)=a*sin(w*x+b)+c

2) f(x)=a*cos(w*x+b)+c

für die freie gedämpfte Schwingung gibt es noch die allgemeine Lösung

S(t)=e^(-b*t)*A*sin(wd*t+b)



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siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,Grundrechenarten,Bruchrechnung

Multiplikation von 2 Brüchen (a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)

gilt natürlich auch für mehr als 2 Brüchen

(3/5)*(5/7)=(3*5)/(5*7)=15/35 nun kürzen Zähler und Nenner dividiert durch 5

15/5=3 und 35/5=7

also 15/35=3/7

Probe: Taschenrechner 15/35=0,428... und 3/7=0,428.. stimmt

(3/7)*(4/9)*(3/2)*(3/7)*(1/2)=(3*4*3*3*1)/(7*9*2*7*2)=108/1764 nun kürzen

mit 4

108/4=27 und 1764/4=441

27/441 kürzen mit 9

27/9=3 und 441/9=49

3/49

(14/15)*(3/49)=(14*3/(15*49)=42/735 nun kürzen mit 21

42/21=2 und 735/21=35

bleibt 2/35 stimmt



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W(t)=0=5*t-0,6*t²+5/(1+t) mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

t1=8,4379 Stunden

multipliziert mit (1+t)

0=5*t*(1+t)-0,6*t²*(1+t)+5 =5*t+5*t²-0,6*t²-0,6*t³+5

0=-0,6*t³+4,4*t²+5*t+5 ist eine kubische Funktion f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao

Die Nullstelle muß man durch probieren angenähert ermitteln und dann benutzt man einer der beiden Näherungsformeln von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehenverfahren) an.

c) W(t)=10=...

0=5*t-0,6*t²+5/(1+t)-10 Nullstellen mit meinem GTR t1=2,391... und t2=5,5678..

b) Maximum bei tmax=4 Stunden Wmax=11,4 m³

W(t)=.... ableiten

W´(t)=0=..... → Nullstellen ermitteln

spezielle Quotientenregel anwenden (1/v)=-1*v´/v²

bei 5*1/(1+t)

(1/(1+t)) → v=1+t → v´=dv/dt=1 und v²=(1+t)²

5/(1+t) abgeleitet 5*(-1)/(1+t)²=-5/(1+t)²

binomische Formel (1+t)²=1²+2*t*1+t²=t²+2*t+1

Den Rest schaffst du wohl selber

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P(1/2/5) → Ortsvektor p(1/2/5)

Gerade g: x=a+r*m

a(2/9/4)

p-a=(1/2/5)-(2/9/4)=(-1/-7/1)

Dieses Verfahren sehe ich zum 1.ten mal

Ich benutze immer das Lotfußpunktverfahren

Hilfsebene Normalengleichung der Ebene E: (x-a)*n=0

P(1/2/5)=a(1/2/5) benutzen wird als Stützpunkt für die Ebene

Richtungsvektor m(3/-4/1) ist der Normalenvektor der Ebene n(3/-4/1)

E: (x-(1/2/5)]*(3/-4/1)=0

Die Gerade ist hier die Lotgerade,die senkrecht auf der Hilfsebene steht,deshalb ist auch der Richtungsvektor m(3/-4/1) auch der Normalenvektor der Ebene n(3/-4/1)

Gerade in die Ebenengleichung eingesetzt

[(2/9/4)+r*(3/-4/1)]*(3/-4/1)=0

mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

ergibt dann umgestellt nach den Parameter r=1

In die Gerade eingesetzt,ergibt das den Fußpunkt (Schnittpunkt mit der Ebene)

dann Abstand von 2 Punkten im Raum

Betrag d=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)

P(x1/y1/z1)=(1/2/5) und Pf(x2/y2/z2) → ist der Schnittpunkt mit der Ebene

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Mach zuerst mal eine Zeichnung mit einem x-y-Koordinatensystem

1) die einzelnen Punkte P1 bis P8 einzeichnen

2) mit einem Kurvenlineal die Punkte zu einem Graphen verbinden

3) die Rechteckflächen der Obersumme einzeichnen

4) die Rechteckflächen der Untersumme einzeichnen

5) Fläche Obersumme Ao=Summe Aoi → Ao=∑ Aoi

6) Fläche Untersumme Au=Summe Aui → Au=∑ Aui

7) Durchschnittswert Am=(Ao-Au)/2

Hinweis:Wenn du das auf Millimeterpapier machst,dann kannst du die Fläche ermitteln,indem du die Kästchen auszählst.

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0=2*x²+5*x+2 dividiert durch 2

0=x²+2,5*x+1 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

p=2,5 und q=1

x1,2=-2,5/2+/-Wurzel((2,5)²-1)=-1,25+/-W(1,5625-1)=-1.25+/-0,75

x1=-1,25+0,75=-0,5 und x2=-1,25-0,75=-2

x1+x2=-p → -0,5-2=-2,5 → -(+2,5)=-2,5 stimmt

x1*x2=q → (-0,5)*(-2)=1 stimmt



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Gerade y=f(x)=m*x+b oder y=f(x)=m*x

m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

P1(0/0) und P2(60/25)

m=(25-0)/(60-0)=25/60=5/12

Funktion y=f(x)=5/12*x integriert

F(x)=5/12*∫x*dx

MF(x)=5/24*x²+C bei x=0 ist F(0)=0=5/24*0+C → c=0

A=obere Grenze minus untere Grenze → xo=60 und xu=0

A=(5/24*60²) - (5/24*0²)=720 m²

Volumen=Grundfläche mal Höhe

V=720 m²*27 m=20.250 m³ Erde muß wohl bewegt werden

angenäherte Ermittlung durch Obersumme und Untersumme

Ao> als die tatsächliche Dammfläche A

Au< als die tatsächliche Dammfläche A

A liegt zwischen der Fläche Ao und Au

Mittelwert von Ao und Au → Am=(Ao+Au)/2

Volumen V=Am *27 m=

1) aus den gegebenen Punkten n Rechteckflächen bilden

Fläche der Rechteckflächen ist dann A(rechteck)=Summe A1+A2+..+An

2) man legt die Rechtecke 2 mal an,so,dass sich für die Fläche A(rechteck) eine

Obersumme Ao=Summe A1+A2+..An ergibt und eine

Untersumme Au=Summe A1+A2+...An

siehe auch Mathe-Formelbuch Obersumme und Untersumme.

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Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Normale an der Funktion f(x)=... liegen soll

Bei dir wurde ein anderer Buchstabe genommen → xo=z

f(x)=ln(0,5*x+3) Nullstelle xo=z=-4

abgeleitet f´(x)=1/(x+6)

f(xo)=f(-4)=ln(0,5*(-4)+3)=ln(1)=0

f´(xo)=f´(-4)=1/(-4+3)=-1

fn(x)=-1*(x-0)+0=-1*x

fn(x)=-1*x



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a) f(x)=3*sin(2*x-6)-1

w=2*pi/T → 2=2*pi/T → T=pi ist die Periodendauer (positive und negative Halbwelle)

y=sin(x)

Nullstellen x=k*pi → k=0,1,2,3...

Extrema x=pi/2+k*pi

1.te Nst.: 2*x1-6=0*pi → x1=6/2=3

2.te Nullstelle 2*x2-6=1*pi → x2=(pi+6)/2=pi/2+3

1.te Extrema 2*x1-6=pi/2+0*pi → x1=(pi/2+6)/2=pi/4+3

2.te Extrema 2*x2-6=pi/2+1*pi → x2=(pi/2+pi+6)/2=(3/2*pi+6)/2=3/4*pi+3

f(x)=a*sin(w*x+b)+c

c=-1 verschiebt nur auf der y-Achse um 1 Einheit nach unten

also zeichne f(x)=3*sin(2*x-6) mit den Nst. und Extrema und verschiebe dann den Graph um c=-1 nach unten

c) selbe Rechenweg → c=1 Verschiebung um 1 Einheit nach oben

f(x)=(.......)+/-c

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2 Kugeln nebeneinander sind zusammen 16 cm Breit → also d=8 cm weil 2 *8 cm=16 cm ist.

außerdem 3 Kugeln nebeneinander → 3*8 cm=24 cm

d=8 cm

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