Mathe - Unendlichkeit?
Morgen,
ist das richtig? ∞/∞=1
Und was ist wenn ich ∞/1 habe oder 0/∞ ?
Danke schon mal :)
7 Antworten
Hallo arjen,
der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik ist manchmal schwieriger als man denkt. Dein Ergebnis beispielsweise "kann" richtig sein, ist es aber in den meisten Fällen nicht. Am besten verstehst Du diesen Zusammenhang wahrscheinlich an ein paar Beispielen:
Betrachten wir zu Anfang vielleicht einfach mal Grenzwerte von Funktionen. Sagen wir mal, Du hättest Die Funktion gegeben:
f(x) = (2*x) / x
Wir kürzen hier noch nicht, sondern lassen das so stehen. Wenn wir für x jetzt immer größere Werte einsetzen (x also gegen Unendlich laufen lassen), dann wird trotzdem immer f(x) = 2 herauskommen, weil oberhalb vom Bruch und unterhalb vom Bruch das gleiche x steht. Es läuft quasi "gleich schnell" gegen Unendlich.
Wenn Du jetzt aber eine Funktion wie diese hier hast:
f(x) = x² / x
Dann sieht das Ganze schon anders aus. Lässt man jetzt das x gegen Unendlich laufen, so wird das x² im Zähler viel schneller viel größer als das nicht potentierte x im Nenner. Für x -> ∞ gilt dann zwar sowas wie "∞/∞", aber das schreibt man so nicht, weil es eben ungenau ist. Der Mathematiker sagt dann, es wäre nicht genügend definiert. Man würde dann schauen, einen aussagekräftigeren Ausdruck zu bekommen. Beispielsweise eben durch Kürzen (oder auch durch L'Hospital, falls ihr denn irgendwann mal durchnehmt). Man sieht hier also, dass f(x) auch gegen unendlich geht für x gegen Unendlich.
Wenn man jetzt von einer "Anzahl" an Elementen spricht, die unendlich groß ist, zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen {1,2,3,...,∞} dann ist diese natürlich auch unendlich groß. Man spricht hier von dem Begriff "abzählbar unendlich".
"Überabzählbar Unendlich" sind dann Mengen, die auch unendlich viele Elemente, haben aber einen Unterschied: "Abzählbare Mengen" könnte man mit 1 bis ∞ durchnummerieren und man könnte immer sagen, welche Zahl welchem Element entspricht. Bei überabzählbaren Mengen geht das nicht mehr. Beispielsweise ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar. Das ist nicht soo einfach zu verstehen, viele lernen es erst im ersten Semester der Mathematik, also mach Dir nichts draus. Die genaue Definition ist auch etwas schwieriger.
Was übrigens schon definiert ist: 0 / ∞ ergibt natürlich 0, da etwas ganz Kleines, geteilt durch etwas ganz Großes ganz Klein wird. Ein schierigerer Fall ist ∞ * 0 (wobei hier 0 für etwas Winzigkleines stehen soll, nicht für die totale 0) beispielsweise bei
f(x) = x * (1 / x)
Für x gegen Unendlich geht hier x natürlich gegen unendlich und (1 / x) geht gegen 0. In der Multiplikation kommt aber immer wieder f(x) = 1 heraus. Letztendlich kannst Du solche Probleme aber immer auf das oben beschriebene ∞ / ∞ zurückführen:
f(x) = x * (1 / x) = x / x
Ich hoffe, ich konnte Dir ein bisschen weiterhelfen und ich habe Dich nicht vollends verwirrt :D Wenn Du Fragen hast, frag einfach nochmal nach :-)
Beste Grüße, Balu
Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort. Verwirrt hast du mich nicht, hat mir sehr geholfen. :D
∞ / ∞ = nicht definierbar
x / 0 = ∞
0 * ∞ = 0
0 / ∞ = 0
∞ / 0 = ∞
∞ / 1 = ∞
∞ * ∞ = ∞
∞ * x = ∞
x / ∞ = 0
∞ + x = ∞
∞ - ∞ = nicht definierbar
x - ∞ = -∞
∞ ^ 0 = 1
∞ ^ x = ∞
am besten ist aber immernoch: man hört zum rechnen auf
Du verwendest hier unterschiedliche Definitionen der Null. Darauf sollte hingewiesen werden.
Bei (x / 0) ist die 0 natürlich nur etwas unendlich Kleines, aber nicht das Nullelement, ansonsten wäre das auch nicht definiert, bzw. befindet man sich dann im erweiterten Raum der reellen Zahlen R + {-∞, ∞}, in dem solche Definitionen getroffen werden.
Bei (0 * ∞ = 0) verwendest Du dann eine andere Definition, nämlich die richtige Null, ansonsten wäre das Ergebnis falsch. Das hier ist ein ganz schlechtes Beispiel. Denn da könnte ich ja jetzt behaupten nach Deiner Liste.
0 * ∞ = 0
und
x / ∞ = 0
also eingesetzt
(x / ∞) * ∞ = nicht definiert oder x - je nachdem, welches "Undendlich" ich verwende.
Die Liste also mit Vorsiht genießen, auch wenn sie im Allgemeinen sinnvolle Lösungen liefert.
Auch der Endsatz "am besten ist aber immernoch: man hört zum rechnen auf" ist eben komplett falsch. Wenn man an einer Stelle ankommt, an der ein "∞ / ∞" steht, dann hört man nicht auf, sondern sucht einen anderen Rechenweg, der ein sinnvolles Ergebnis liefert, denn das gibt es in so einem Fall immer!
Sehen wir es ganz einfach: Wie oft passt die 1 in die ∞? Genau ∞-Mal
Wie oft passt die ∞ in die 0 rein? Genau: 0-Mal
Versuchs mal beispielhaft mit anderen Zahlen. Bei 20/1 kommt auch 20 heraus und bei 0/20 ist es 0, da du ja nichts hast.
Mit ∞ kann man nicht so umgehen wie mit Zahlen. Es ist jedes Mal darauf zu achten, was damit zum Ausdruck gebracht werden soll. Wenn man ganze Zahlen nimmt, weiß man ja, es gibt unendlich viele davon. Nimmt man nun gerade Zahlen, scheint klar zu sein, dass alle zusammen nur die Hälfte der ganzen sind. Dem ist aber nicht so, von den geraden Zahlen gibt es ebenfalls unendlich viele - und auch von durch 10 teilbaren usw.
Diese Betrachtungsweise ist wichtig, weil man es so schafft, unter jede gerade Zahl eine ganze Zahl zu schreiben, ohne dass etwas "dazwischenpasst". Man nennt es dann abzählbar unendlich.
Mit den reellen Zahlen schafft man das nicht mehr. Das lernt man in einem längeren Beweis auch in der Schule. Man kann nämlich schon bei einer einzigen irrationalen Zahl erkennen, dass bei ihr "immer noch" etwas zwischen die Dezimalen gelegt werden kann (einfach beschrieben). Damit hat man dann die erste überabzählbar unendliche Zahlenmenge kennengelernt. Und ihr folgen noch etliche andere, genauer gesagt, unendlich viele von der Sorte.
Es ist also alles nicht so richtig einfach.
Und ∞ als rechenbares Element darf gar nicht benutzt werden.
Wie man dem Zeichen "Unendlich" leicht ansieht, ist es keine Zahl, sondern ein Symbol. Die Rechen-Regeln sind jedoch nur für normale Zahlen, manchmal auch für etwas erweiterte Zahl-Begriffe erklärt. Insbesondere bei der "Division" gibt es ein Problem, Bei deinen Fragen lässt sich ∞/1 schon mal erklären: Wenn du die 1 erklärt hast, dann kann diejenige Zahl, die als Multiplikator oder Divisor wirkt, das Ergebnis unverändert lassen. 0/∞ ist eine andere Frage. 0 ist einfach 0 und wird sich durch gewisse erklärte Operationen wenig bis garnicht (meistens) verändern. Das ist Aufgabe der Quantenmechanik. ∞/∞=1 : Wie gesagt - erklärungsbedürftig, was das bedeuten soll.