Kurvendiskusson einer ganzratonalen Funktionsschar; Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen?
Wenn z.b. Die Funktionsschar fa(x)= x^3+2ax^2 ist, dann sind die Schnittpunkte wie Folgend: y-Achse: x=0 f(0)=0
x-Achse: y=0 x^3+3ax^2=0 |ausklammern x^2*(x+3a)=0 -> Xn1=0
x+3a=0 |-3a -> Xn2=-3a
Meine Fragen dazu sind: 1. Woraus erkennt man an x^2*(x+3a)=0, dass Xn1=0 ist? warum ist das so? 2. Warum nutzt man x+3a=0 um Xn2 zu berechnen?
3 Antworten
1. Ein Produkt ist null wenn einer der Faktoren 0 ist (also a*b*c ist null wenn a, b oder c null ist). Nach dem Ausklammern hast du das Produkt x^2*(x+3a). Das heißt das ganze wird null wenn entweder x^2 oder (x+3a) null ist. x^2 wird null wenn du null für x einsetzt -> Deshalb Xn1 = 0
2. Die funktionenschar wird auch null wenn der Zweite Faktor (also x+3a) null wird. Das heißt du musst den zweiten Faktor gleich null setzen -> x+3a = 0. Was du jetzt für x rausbekommst ist die zweite nullstelle.
Ich hoffe ich konnte helfen, Alles verstanden? :)
Du hast eine Funktion dritten Grades (das heißt die höchste Potenz von x ist 3, da in der Funktion steht x^3). Eine Funktion Dritten Grades hat maximal drei Nullstellen, durch das einsetzen von 0 für x findest du eine davon, diese ist jedoch doppelt das heißt eine mögliche Nullstelle ist noch übrig. Deshalb musst du den anderen Faktor auch noch gleich 0 setzen.
Das ganze erklärt sich ziemlich einfach durch den Satz vom Nullprodukt, der dir eigentlich bei dem Thema längst geläufig sein sollte.
Der Satz vom Nullprodukt lautet:
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Da du ein x bzw. x² vor der Klammer hast, könnte das ja null sein. Dadurch würde die ganze Klammer auch 0 werden, denn x * 0 = 0. Das x bzw. x² vor der Klammer ist einer der beiden Faktoren!
Schau dir dazu ggf. nochmal folgendes Video an:
https://youtube.com/watch?v=NayWYXUjP_k
Wenn du ausklammerst, musst du das auf jeden Fall immer im Kopf haben und beachten!
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
Schonmal was vom Satz vom Nullprodukt gehört?
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Durch das Ausklammern von x (oder hier x²) erschafft man also ein Produkt mit den Faktoren x² und (x+3a).
Die werden dann einzeln Null gesetzt und berechnet, woraus die Lösungen folgen.
Aber da in jedem Teil der Aufgabe ein X vorkommt und das ergebnis doch auch dort 0 ist ist das ausklammern doch obsolet? oder ich habe einfach nen ziemlichen Denkfehler drin...
mir ist gerade der Denkfehler aufgefallen. Ich hatte irgendwie die vermutung, dass durch Xn1=0 dann ja auch x=0 sein müsste. Danke für die Antwort.
Jetzt aber klar?
Wenn x=0 gilt, dann ist f(x) auch Null. Selbiges gilt für x=-3.
Das heißt natürlich nicht, dass x immer 0 ist (würde ja auch so kaum Sinn machen!)
ja so in etwa hab ichs verstanden... ich bin einfach übermüdet und da kommen solche Hirngespinste zu Stande
aber wenn ich für x null einsetze dann müsste ich doch nicht ausklammern???