Kugelvolumen via Integralrechnung herleiten?

Hallo zusammen

Ich möchte über Integral ein Kugelvolumen definieren. Folgende Aufgabe ist dazu gestellt, welche ich nicht wirklich einfach empfinde:

Ich gehe folgendermassen vor und frage mich gleichzeitig:

Es entstehen zwei Kugelabschnitte mit der Höhe h. Die Abschnitte des Intervalls sind demnach r und "r-h" . Offenbar geht man so vor, dass man die Linie des Durchmessers um 90 Grad dreht, als y=0 definiert und nach unten "spiegelt". Wieso hat man dann zwei Flächen?

Die Randfunktion ist demnach f(x)=Wurzel (r² minus x²), weil man hier den Pythagoras nimmt um auf f(x) zu kommen. x² scheint offenbar die Differenz von (r-h) zu sein, stimmt das? Oder ist das lediglich die Grundformel?

Offenbar kann man daraus ein Integral schreiben:

B wird also so gelöst. Jedoch weiss ich nicht, wieso sie plötzlich mit zwei Flächen arbeiten.

für C soll ich kontrollieren, ob mein Ergebnis plausibel ist, indem ich h=2r einsetze. Wodurch ich dann wieder auf die oben genannte Formel kommen soll, das ist mir aber nicht gelungen.

kann mir jemand helfen?

Vielen herzlichen Dank

lg E.

Answer 1

[KimMell]

Ich zeige mal zwei Methoden:

1) Wir zerlegen die Kugel in 2 Halbkugeln.

Wir legen eine x - Achse fest, die beim Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel startet und orthogonal dazu nach oben verläuft.

Wir suchen eine Funktion A(x) (Fläche in Abhängigkeit von x).

Der höchste Punkt der Halbkugel liegt dann bei x = r, der Niedrigste bei x = 0, dann gilt für das Volumen der Halbkugel V_H:

$V_H=\int_0^rA\left(x\right)dx$

Wir suchen jetzt eine Funktion R(x) (Radius der Kreisfläche auf einer Höhe x, die eingeschlossen wird von der Halbkugel):

$A\left(x\right)=\pi\left(R\left(x\right)\right)^2$

Wenn du eine Skizze dazu anfertigst, kommst du auf:

$R\left(x\right)=\sqrt{r^2-x^2}$

Und jetzt nur noch weiter einsetzen und ausrechnen:

$A\left(x\right)=\pi\left(r^2-x^2\right)$

$V_H=\int_0^r\pi\left(r^2-x^2\right)dx=\int_0^r\pi r^2dx-\int_0^r\pi x^2dx=r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2\pi r^3}{3}$

Jetzt haben wir ja aber nur das Volumen der Halbkugel, also ist das Volumen V der ganzen Kugel:

$V=2V_H=2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3$

2) Wir rechnen das in Kugelkoordinaten:

$dV=R^2\sin\left(\theta\right)dRd\theta d\varphi$

Wir Integrieren einfach 1 über die gesamte Kugel:

$0\le R\le r,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le\varphi\le2\pi$

$V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^rR^2\sin\left(\theta\right)dRd\theta d\varphi$

Answer 2

[PhotonX]

$\frac{\pi\cdot\left(2r\right)^2}{3}\cdot\left(3r-2r\right)=\frac{\pi\cdot4r^2}{3}\cdot r\ =\ \frac{4\pi r^3}{3}$ Bitte sehr.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Answer 3

[Kalamarabi]

Pi×(2r)²/3 ×(3r-2r)=4Pir³/3

Hilft dir das weiter?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung