Komplexwertige lösungen finden?

Kann mir jemand erklären wie ich hier vorgehe. Muss nicht unbedingt beide aufgaben direkt Lösen. Jedoch wäre eine Vorgehensweise für die erste aufgabe schön vlt auch mit Lösung so das ich es bei b) selbst versuchen kann

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

komplexe Wurzeln n. Grades bilden ein regelmäßiges n-Eck, das auf einem Kreis um den Ursprung der komplexen Zahlenebene liegt. Der Radius dieses Kreises entspricht der n. Wurzel des Abstandes des Radikanden vom Ursprung.

z^4=-16.

Der Radikand ist -16 und liegt 16 Einheiten vom Ursprung entfernt auf der reellen Achse.

Die vierte Wurzel aus 16 ist 2. Somit liegen alle vier Wurzeln auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius 2.

-16 liegt links von der imaginären Achse auf der reellen Achse. Der Zeiger vom Ursprung zu -16 bildet mit der reellen Achse einen Wnkel von 180°.

Da Du die vierte Wurzel suchst, teilst Du 180° durch 4 und kommst auf 45°.

Die erste der vier Wurzeln liegt also da, wo ein Zeiger von 2 Einheiten Länge unter einem Winkel von 45° zur reellen Achse hinzeigt. Die anderen drei Wurzeln folgen dann im Abstand von 360/4=90°.

Du bedienst Dich der trigonometrischen Darstellung einer komplexen Zahl:

a+bi=r*(cos (phi)+i*sin (phi)).

Hier ist r=2 und phi der Reihe nach 45°, 135°, 225° und 315°.

2*(cos (45°)+i*sin (45°))=Wurzel (2)+i*Wurzel (2).

Die drei anderen Wurzeln bekommst Du, indem Du die drei anderen Winkel für phi einsetzt.

Die zweite Gleichung löst Du mit Hilfe der pq-Formel mit anschließendem Ziehen der komplexen Wurzeln.

p*4+2i, q=4i

z1;2=-p/2±Wurzel (p²/4-q), hier also -2-i±Wurzel ((-2-i)²-4i)

-2-i±Wurzel (4+4i-1-4i)=-2-i±Wurzel (3).

Da unter der Wurzel eine positive reelle Zahl steht, bist Du schon fertig.

Die beiden Lösungen für z sind -2±Wurzel (3)-i.

Wenn der Radikand einer komplexen Wurzel mal nicht auf einer der beiden Achsen liegt, berechnest Du den Abstand zum Ursprung über den Satz des Pythagoras:

Abstand=Wurzel (a²+b²) mit z=a+bi.

Aus diesem Abstand ziehst Du dann die n. Wurzel, um den Radius des Kreises, auf dem alle Wurzeln liegen, zu ermitteln.

Den Winkel zur reellen Achse bekommst Du über die Trigonometrie, etwa über den Arcustangens (b/a). Hierbei mußt Du nur aufpassen, in welchem Quadranten der Radikand liegt, weil der Rechner nur einen möglichen Winkel zu einem bestimmten Tangens auswirft.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[tsanemo]

Ich habe gerade die bewertetn aufgaben einer Freundin bekommen und verstehe fast alles ausser wo die pi/4 herkommen ich habe sie mit einem Roten pfeil makiert http://prntscr.com/r5k735

[Willy1729]

@tsanemo

pi/4 ist das entsprechende Bogenmaß zu 45°.

Da der Zeiger zu -16 einen Winkel von 180° zur reellen Achse (Zahlengerade) bildet, und Du die vierte Wurzel suchst, bildet der Zeiger zur ersten Wurzel einen Winkel von 180/4=45°. Da pi=180°, sind 45°=pi/4.

[CarolusGauss]

@tsanemo

Da siehst du ja auch meine Lösungen in der polarform. Um vom Gradmaß ins Bogenmaß zu bekommen: Grad * Pi/180 und vom Bogenmaß ins Gradmaß zu kommen entsprechend: Bogenmaß * 180/Pi

[CarolusGauss]

Approved vom Princeps Mathematicorum.

Beste Grüße,

C.F. Gauss

[Willy1729]

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Answer 2

[CarolusGauss]

Entweder nutzt du dafür den trigonometrischen Lösungsweg mit:

$w_k=\sqrt[n]{r}\cdot\left(\cos\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)\right),\ k\in\mathbb{Z}$

oder den Lösungsweg über die Polarform mit:

$\sqrt[n]{r}\cdot\exp\left(i\cdot\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\ k\in\mathbb{Z}$

r berechnest du über den Betrag |z|:

$z^4=-16\ \Longrightarrow\ \left|z\right|=\sqrt{16^2}=16\ \Longrightarrow\ \sqrt[4]{16}=2$ $\varphi=\pi-\arctan\left(0\right)=\pi$ $\Longrightarrow\ w_0=2\cdot e^{i\cdot\frac{\pi}{4}},\ w_1=2\cdot e^{i\cdot\frac{3\pi}{4}},\ w_2=2\cdot e^{i\cdot\frac{5\pi}{4}},\ w_3=2\cdot e^{i\cdot\frac{7\pi}{4}}$

Das wären sämtliche Lösungen. Die Anzahl der Lösungen beträgt dabei L = n-1

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Universität Helmstedt, TU Braunschweig, GAU Göttingen

Comments

[tsanemo]

Danke für die Schnelle und Ausführliche bereitstellung von Lösungswegen

[CarolusGauss]

@tsanemo

Nichts zu danken. Die Lösungen habe ich jetzt über die Polarform bestimmt. Du kannst natürlich auch die trigonometrische Form wählen.

[tsanemo]

@CarolusGauss

Zur übung probier ich es am besten mit beiden Wegen

[CarolusGauss]

@tsanemo

Für b) nutzt du übrigens am besten die quadratische Ergänzung.

Answer 3

[RIDDICC]

1. mit WA? http://wolframalpha.com/
2. oda:
3. (A) mit der 4. Wurzel aus -16... $\sqrt[4]{z^4}=\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16\cdot(-1)}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{-1}=2\cdot\sqrt[4]{-1}$
4. (B) mit der pq-Formel...
5. oda?

Comments

[PhotonX]

Da hast du aber nur eine Lösung, eine Gleichung vierten Grades sollte auch vier komplexe Nullstellen haben. ;)

[RIDDICC]

@PhotonX

1. ja... ich lass das mal so stehen jetzt... vierte Wurzel aus -1 ist mir zu wild... https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%281%2F4%29
2. irgendwie (1+i)/Wurzel(2)
3. und dann beim Real-Teil (1/Wurzel(2)) und Imaginär-Teil (1/Wurzel(2)) am Vorzeichen rumspielen...
4. oda?

[Willibergi]

@RIDDICC

So ist es, das sind die vier Einheitswurzeln.

[RIDDICC]

@Willibergi

1. cool...
2. ich kann 's auch nachweisen:
3. ((1+i)/Wurzel(2))^4=(1+i)^4/4=(1+2i-1)^2/4=2²i²/4=-4/4=-1
4. yay

[RIDDICC]

@Willibergi

oh.... ich kanns auch herleiten:

1. 4.-Wurzel(-1)=a+bi
2. (a+bi)^4=-1
3. (a²+2abi-b²)²=-1
4. (a²-b²)+(2ab-1)i=0

und dann:

1. 2ab=1
2. a²=b² ==> a=b

und dann:

1. 2bb=1
2. b²=1/2

und somit:

a=b=1/Wurzel(2)

yay!