Komplexe Gleichung verstehe ich nicht?

Sin(x) = i

Ich verstehe leider nicht wie man da auf π-arcsinh(1)+2πn (Quelle: Wolframalpha) kommt, also wäre es nett wenn jemand den Grund erklären könnte.

Answer 1

[ProfFrink]

Du hast die Lösung von WolframAlpha nicht richtig wiedergegeben. WolframAlpha liefert

$z=2\pi\cdot n+\pi-i\cdot\operatorname{arsinh}\left(1\right)$ und

$z=2\pi\cdot n+i\cdot\operatorname{arsinh}\left(1\right)$ Die Lösung hat somit einen Real- und Imaginärteil. Du solltest somit für die Lösung der Gleichung

$\sin\left(z\right)=i$ von vorne herein eine komplexe Lösung zulassen. Ein x im Argument des Sinus ist da etwas verwirrend und könnte in der Weise missverstanden werden, dass es hier eine relle Lösung geben könnte. Gibt es aber in diesem Fall nicht. Die ausführliche Schreibweise erlaubt über ein Additionstheorem die Zerlegung des Funktionswertes des Sinus in Real- und Imaginärteil

$\sin\left(z\right)=\sin\left(x+i\cdot y\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(i\cdot y\right)+\cos\left(x\right)\cdot\sin\left(i\cdot y\right)$ Die Winkelfunktionen mit den imaginären Argumenten können in Hyperbelfunktionen umgewandelt werden, die dann selbst imaginär werden.

$\cos\left(i\cdot y\right)=\cosh\left(y\right)$ $\sin\left(i\cdot y\right)=i\cdot\sinh\left(y\right)$ Damit lässt sich die Gleichung endgültig zerlegen.

$\sin\left(z\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cosh\left(y\right)+i\cdot\cos\left(x\right)\cdot\sinh\left(y\right)$ Die Forderung

$\sin\left(z\right)=i$ verlangt, dass der Realteil verschwindet. Da cosh(y) niemals den Wert 0 annimmt, muss sin(x) verschwinden, was nur an den Stellen x = n*pi funktioniert. An den Stellen aber nimmt cos(x) entweder den Wert -1 oder +1 an, so dass man hier zu einer Fallunterscheidung gezwungen ist.

An den Stellen x = 2*pi*n nimmt der cos(x) den Wert 1 an. Somit muss die Gleichung

$\sinh\left(y\right)=1\ \ \$ gelöst werden.

An den Stellen x = 2*pi*n+pi nimmt cos(x) den Wert -1. Dann muss die Gleichung

$\sinh\left(y\right)=-1\$ gelöst werden. So erklären sich die Lösungen von WolframAlpha

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Du kennts Eulers Formel:

Daraus folgt die Relation für Sinus und Kosinus:

Findest du die Umkehrfunktion zur rechten Seite (durch lösen nach x) so ist das wegen der Gleichung auch die Umkehrfunktion der linken Seite. Du kannst die Rechte seine nach x Lösen indem du exp(xi) = u substituiertest, mal u rechnest und dann die abc- bzw. die PQ-Formel anwendest. Zurück substituieren und dann logarithmieren und :i rechnen gibt (sin^-1 = arcsin):

Das ganze findest du Schritt für Schritt vereinfacht hergeleitet hier auf Wikipedia)

Das kannst du auf deine Formel anwenden:

Sin(x) = i | Arcsin()
     x = Arcsin^{-1}(i)
     x = -i * ln(i * i + sqrt(1 - i²))

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[NeonSchaf]

Der arcussinus von i, ist eben genau das.

Comments

[IchMagGiraffen]

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Answer 4

[PhotonX]

Tipp: Multipliziere mit -i, sodass dasteht -i*sin(x)=1. Dann nutze sin(x)=[exp(ix)-exp(-ix)]/2i und vereinfache weiter.