Kepler'sche Fassregel?
Bestätigen Sie rechnerisch, dass mit der auf der Kepler'schen Fassregel für Rotationskörper (Fässer) das Volumen eines Zylinders und das eines Kegels exakt bestimmt werden können.
Wie kann ich dies beweisen?
2 Antworten
Die Fassregel nähert das Integral von a bis b über die Funktion f(x) an durch die Formel
(f(a) + 4 f((a+b)/2) + f(b)) * (b-a)/6
Für einen Rotationskörper (um die x-Achse) muss man noch die Funktionswerte quadrieren und das ganze mal Pi nehmen,
(f(a)^2 + 4 f((a+b)/2)^2 + f(b)^2) * (b-a)/6 * Pi
Man kann der Einfachheit halber a=0 setzen.
Für einen Zylinder mit Radius c und Höhe b setze f(x) = c und berechne das Volumen einmal nach der bekannten Formel c^2 Pi b und einmal durch die Fassregel.
Für einen Kegel mit Radius (der Grundfläche) c und Höhe b setze f(x) = c/b x und berechne das Volumen einmal nach der bekannten Formel c^2 Pi b / 3 und einmal durch die Fassregel,
(0 + 4 f(b/2)^2 + f(b)^2) * b/6 * Pi
= (4 (c/2)^2 + c^2) * b/6 * Pi
= c^2 b/3 Pi
