Rotationskörper Mathe

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2 Antworten

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, dann handelt es sich bei dem Bohrkern nicht um einen Zylinder. Das liegt daran, dass der Graph der Funktion sich nach oben verjüngt, bis die x-Werte kleiner als der Radius des Bohrlochs sind. Würde man nun einen Zylinder abziehen, würde man auch einen Bereich abziehen, der zum ursprünglichen Rotationskörper Rg(x) gar nicht gehört, wie im Bild dargestellt.

Dieser Bereich muss also wieder abgezogen werden. Die Fläche, um die es sich handelt, ist gleich dem Integral im Bereich [0;0.5] der Funktion f(x) = 3(e^x)+3 wie im zweiten Bild zu sehen. Dessen Rotationskörper Rf(x) muss am Ende also wieder zum gesamten Volumen addiert werden.

Insgesamt lautet die Formel also:

Rg(x) - 3*pi + Rf(x)

Wie gesagt bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Wenn nicht, korrigiert mich bitte!

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Die Symmetrieachse ist ja die x-Achse. Der Durchmesser der Bohrung ist 1, also ist der Radius 1/2. Du berechnest also das Rotationsvolumen von f(x)=0,5 und ziehst dieses vom ganzen Rotationsvolumen ab. Vorher bestimmst du noch die Grenzen, indem du den Schnittpunkt berechnest.

psychironiker 05.03.2014, 16:44

Von der Idee her finde ich diesen Lösungsvorschlag ok. Ergänzungen:

1) Teelicht800 ist möglicherweise nicht klar, wie sich in Rotationsvolumen berechnen lässt. Das geht mit der Formel

V = π ∫ ( f(x)) )² dx,

wobei die Grenzen dieses bestimmten Intergrals zu berücksichtigen sind (die sich mit diesem Schreibprogramm schlecht schreiben lassen).

2) Der abzuziehende "Bohrkern" ist ein Zylinder. Ich finde deutlich einfacher, sein Volumen elementargeometrisch zu berechnen ( = Mittelstufen-Mathematik). Die Höhe des Zylinders ist leicht aus der Voraussetzung zu ersehen, die Berechnung von Schnittpunkten erübrigt sich.

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tinafritz1992 05.03.2014, 16:51
@psychironiker

Grundsätzlich gebe ich dir recht. Aber Teelich800 schrieb in der Frage, dass er/sie die Formel für das Rotationsvolumen kennt. Und ich weiß nicht, ob man in der Abiprüfung nicht auch bei der Bohrung das Rotationsvolumen verlangt.

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