Kann mir jemand erklären wie man hier abgeschätzt hat?

https://www.mathelounge.de/167344/eulersche-funktion-definiert-durch-uneigentliche-integral

Comments

[Rammstein53]

Welcher Teil der Abschätzung ist unklar?

[milan558]

warum wurde in der klammer (1-x) durch (1-t) ersetzt und wie man dann nach oben durch 1/2 abschätzt

Answer 1

[Rammstein53]

Bei der Definition der Beta-Funktion hat sich dort ganz am Anfang ein Schreibfehler eingeschlichen, der Integrand lautet natürlich:

$t^{x-1}\ \cdot\ \left(1-t\right)^{y-1}$

Im folgenden eine alternative Darstellung, eventuell wird das klarer:

Für x,y > 0 spaltet man das Integral wie folgt auf:

Die beiden Integrale der Summe werden im folgenden Integral 1 und 2 genannt.

#####

{x,y} ≥ 1 :

Bei den Integranden handelt es sich um eine beschränkte Funktion mit dem Maximum 1, den 0 <= t <= 1 und 0 <= (1-t) <= 1 und damit existiert das Integral.

#####

0 < {x,y} < 1 :

• Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:

$\left(1-t\right)^{y-1}\ =\ \left(\frac{1}{1-t}\right)^{1-y}$

Das Maximum der Basis ist 2 und der Exponent (1-y) > 0. Deshalb liegt das Maximum dieses Terms bei 2 und kann als Faktor vor das Intervall gezogen werden. Somit reduziert sich das Integral 1 wie folgt:

$\int t^{\ x-1}\ dt$

• Integral 2, d.h. t € [1/2, 1]

$t^{x-1}=\left(\frac{1}{t}\right)^{1-x}$

Hier gilt die gleiche Abschätzung wie eim Integral 1. reduziert sich das Integral 1 wie folgt:

$\int\ \left(1-t\right)^{y-1}\ dt$

Weil die beiden uneigentlichen Integrale

für 0 < {x,y} < 1 konvergieren, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch die Beta-Funktion für {x,y} > 0.

#####

x < 0 :

Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:

$t^{x-1}=\left(\frac{1}{t}\right)^{1-x}$

Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 0, und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 1.

y < 0 :

Integral 2, d.h. t € [1/2 , 1]:

$\left(1-t\right)^{y-1}\ =\ \left(\frac{1}{1-t}\right)^{1-y}$

Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 1 und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 2.

Comments

[Rammstein53]

Danke für den Stern

[milan558]

@Rammstein53

warum muss man das integral eigentlich aufspalten?

[Rammstein53]

@milan558

Muss man nicht, das dient nur der besseren Erklärung. Ausserdem entstehen bei der zweiten Abschätzung für 0 < {x,y} < 1 aufgrund der Konstanten 2^(y-1) und 2^(x-1) sowieso zwei verschiedene Integrale.

[milan558]

@Rammstein53

warum bleibt, wenn man die konstanten rauszieht bei einem t^(x-1) übrig und bei dem anderen (1-t)^(y-1) müsste da dann nicht auch t^(y-1) stehen? ah wahrscheinlich ein tipp fehler

[Rammstein53]

@milan558

Das ist kein Schreibfehler. Ich habe meine Antwort überarbeitet und noch weiter abstrahiert.

[milan558]

@Rammstein53

was wäre wenn x und y kleiner 0 wären?

[Rammstein53]

@milan558

Habe meine Antwort überarbeitet und ergänzt. Damit wird auch klarer, warum die Aufspaltung des Integrals die Abschätzung vereinfacht.

[milan558]

kannst du mir nochmal erklären wann ein integral konvergiert das habe ich noch nicht verstanden