Kann mir jemand bitte helfen diese Themen zu verstehen (Lineare Algebra)?
vielen Dank für ihre Hilfe!
1 Antwort
Hallo,
als Beispiel die Aufgabe 2. Die angegebenen Koordinaten sind für die Beantwortung der Fragen nicht unbedingt nötig, schaden aber auch nicht.
a) Die Vektoren a, b und c sind in der Aufgabe definiert als a=AB, b=BC und c=BF.
Vektor m=AM drückst Du als Linearkombination der Vektoren a, b und c aus, indem Du überlegst, wie Du von A nach M kommst, wenn Du Dich nur in der Richtung oder Gegenrichtung von a, b und c bewegen darfst, wobei Du beliebig lange oder kurze Strecken in Richtung dieser Vektoren gehen darfst. Stell es Dir bildlich vor wie bei einem alten Computerspiel, bei dem sich Punkte entlang von Gittern bewegen.
Du gehst von A aus zunächst nach B, was dem Vektor a entspricht. Von B aus gehst Du den halben Vektor b entlang, bis Du senkrecht unter M stehst. Dann geht es senkrecht nach oben in Richtung Vektor c. Die Linearkombination AM lautet daher
a+(1/2)b+c. Dabei ist es egal, ob Du hier von B aus in Richtung c gehst oder von dem Lotfußpunkt von M auf b, solange Du Dich in der gleichen Richtung wie c bewegst. Willst Du unbedingt von B aus nach oben weitergehen, schreibst Du halt
a+c+(1/2)b, gehst also zunächst von A nach B, dann von B nach F, dann von F nach M.
Da auch bei Vektoren das Kommutativgesetz gilt, ist a+c+(1/2)b das gleiche wie
a+(1/2)b+c. Ich ordne halt gern alphabetisch.
b) Das kannst Du mit dem Satz des Pythagoras lösen. Nenn den Lotfußpunkt von S auf EH S'. Dann gilt: |ES'|²+|SS'|²=|ES|², also 4²+3²=|ES|². |ES|²=25 und damit |ES|=5.
Du kannst auch den Betrag des Vektors ES aus den angegebenen Koordinaten berechnen: ES=S-E=(4|0|8)-(8|0|5)=(4-8|0-0|8-5)=(-4|0|3).
Der Betrag ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten des Vektors, hier also die Wurzel aus ((-4)²+0²+3²)=Wurzel (25)=5. Auch so kommt man auf die Länge (den Betrag) des Vektors ES gleich 5 Einheiten.
Hast Du die Länge der Strecke ES, kannst Du nun Strecke SF berechnen aus den Strecken ES (5 Einheiten) und EF (10 Einheiten wie angegeben).
Der Herr Pythagoras sagt: |SF|²=|ES|²+|EF|², also |SF|²=5²+10²=25+100=125.
Dann ist |SF| die Wurzel daraus, also Wurzel (125) oder 5*Wurzel (5), denn 125
ist gleich 5*25 und damit Wurzel (125)=Wurzel (5*25)=Wurzel (5)*Wurzel (25) bzw. Wurzel (25)*Wurzel (5)=5*Wurzel (5), da Wurzel (25)=5.
c) Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
Wenn also (a/b/c)·(x/y/z)=(a*x+b*y+c*z)=0, genau dann stehen (a/b/c) und (x/y/z) senkrecht aufeinander.
Vektor SE=(4/0/-3), denn Du gehst von S aus vier Einheiten in Richtung x, von da aus Null Einheiten in Richtung y, zum Schluß drei Einheiten in Gegenrichtung von z (nach unten, nicht nach oben, deswegen Gegenrichtung, denn z führt nach oben). Gegenrichtung bedeutet Minus.
Vektor EF ist gleich (0/10/0), denn von E aus bewegst Du Dich nur 10 Einheiten in Richtung y zum Punkt F.
Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist
(4/0/-3)·(0/10/0)=(4*0+0*0+(-3)*0)=0.
SE und EF stehen senkrecht aufeinander, daher ist Winkel (SEF) ein rechter.
d) Oberfläche des Rechtecks EFTS ist einfach Breite mal Höhe,
also |EF|*|ES| gleich 10*5=50 Flächeneinheiten.
Du kannst auch den Betrag des Kreuzproduktes von ES und EF nehmen, also
|(4/0/-3)x(0/10/0)|=|0*0-10*(-3)/(-3)*0-4*0/4*10-0*0|=|30/0/40|=Wurzel (30²+0²+40²)=Wurzel (2500)=50. Aber warum kompliziert, wenn's auch einfach geht?
Herzliche Grüße,
Willy