Integralrechnung- Stammfunktion?

Kann jemand die Stammfunktion von 5 - Wurzel (X)/10 berechnen?

Wäre mir sehr geholfen, danke im voraus.

Answer 1

[evtldocha]

Zuerst umschreiben

$f\left(x\right)=5-\frac{1}{10}\sqrt{x}=5\ -\frac{1}{10}x^{\frac{1}{2}}$

Regeln: $\int c\ dx\ =\ c\int dx\ =c\cdot x$
$\int x^s\ dx\ =\ \frac{1}{s+1}x^{s+1}$

dann mit c = 5; s = 1/2: $F\left(x\right)=5x\ -\frac{1}{10}\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C=5x\ -\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\ =$ $5x-\frac{1}{15}x^{\frac{3}{2}}+C=5x\ -\frac{1}{15}\sqrt{x^3}+C$

Answer 2

[mihisu]

Kleine Nebenbemerkung: Du meinst wohl eher eine Stammfunktion statt „die Stammfunktion“. Denn es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich additiv um eine Konstante unterscheiden.

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Man kann die Quadratwurzel als Potenz schreiben...

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Dann kann man die Rechenregel für Potenzen nutzen: Für k ≠ -1 gilt...

$F(x)=\frac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}\text{ ist eine Stammfunktion zu }f(x)=x^k\text{.}$

============

Zur durch

$f(x)=5-\frac{\sqrt{x}}{10}$

$\quad =5-\frac{1}{10}\cdot \sqrt{x}$

$\quad =5-\frac{1}{10}\cdot x^{\frac{1}{2}}$

gegebenen reellen Funktion f ist durch

$F(x)=5\cdot x-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\cdot x^{\frac{1}{2}+1}$

$\quad =5\cdot x-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{\ \ \frac{3}{2}\ \ }\cdot x^{\frac{3}{2}}$

$\quad =5\cdot x-\frac{1}{10\cdot \frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}}$

$\quad =5\cdot x-\frac{1}{15}\cdot x^{\frac{3}{2}}$

eine Stammfunktion F gegeben.

Neben dieser Stammfunktion gibt es noch unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich additiv durch eine konstante Unterscheiden. Jede Stammfunktion von f lässt sich durch

$F_C(x)=5\cdot x-\frac{1}{15}\cdot x^{\frac{3}{2}}+C$

mit einer Konstanten C beschreiben.