Integral rechnen mathe?
Hallo ich bräuchte hilfe bei der Obersumme von f(x) = 2-x im intervall von 0;2. bin nämlich am verzweifeln.
Danke im voraus
Intervall 0;2
3 Antworten
2 2
∫(2-x)dx = [2x - x²/2]
0 0
= (4 - 2) - 0
= 2
2 als obere Grenze einsetzen (links),
0 als untere (rechts).
Gibt es ein Problem?
Danke dies hatten wir leider noch nicht bearbeitet
Beim Ableiten geht es immer um 1 runter, bei Integrieren um 1 rauf mit Wiederholung im Nenner.
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)
+ C
aber nur bei unbestimmtem Integral
Ich glaube, es ging hier darum, die Fläche als die Summe unendlich vieler und unendlich schmaler Rechtecke zu ermitteln, in die diese Fläche unter dem Graphen eingeteilt wurde.
Hallo,
wenn Du die Fläche über die Obersumme bestimmen sollst, mußt Du den Grenzwert bestimmen für die Summe der Fläche von unendlich vielen Rechtecken, die alle die gleiche Breite haben, aber unterschiedliche von der Funktionsgleichung abhängige Höhen.
Du teilst die Strecke von x=0 bis x=2 in n gleich schmale Rechtecke ein.
Die Breite eines jeden Rechtecks ist somit 2/n.
Nun sind die Rechtecke jeweils so hoch, wie der Funktionswert auf der jeweils linken Seite, weil die Funktion streng monoton fallend ist und somit f(x)>f(x+e), wobei e irgendeine Zahl größer Null ist.
Das erste Rechteck, dessen linke Seite auf der y-Achse liegt, hat somit die Breite 2/n und die Höhe f(0)=2-0=2.
Die linke Seite des zweiten Rechtecks liegt 2/n Einheiten von der des ersten entfernt und hat somit die Höhe 2-1*2/n).
Das nächste hat dann die Höhe 2-2*2/n usw.
Das letzte hat dann die Höhe 2-(n-1)*2/n, denn f(2-n*2/n) wäre ja die Höhe der linken Seite des Rechtecks, das nach dem letzten im Intervall kommt und nicht mehr mitzählt.
Die Summe der Flächen Rechtecke ist also die Breite mal die jeweiligen Höhen der einzelnen Rechtecke, also (2/n)*[(2-0*2/n)+(2-1*2/n)+2-2*2/n+...+2-(n-1)*2/n)].
Die 2 kommt n-mal als Summand vor, kann also durch 2n ersetzt werden.
Von 2n wird die Summe (0*2/n+1*2/n+...+(n-1)*2/n) abgezogen.
2/n kann ausgeklammert werden, so daß die Summe (2/n)*(0+1+2+...+n-1) entsteht.
Die kann aber als die Summenformel n*(n-1)/2 zusammengefaßt werden.
Baust Du alles zusammen, ergibt sich als Summe aller unendlich vielen und unendlich schmalen Rechtecke im Intervall [0;2] die Fläche als Breite mal Summe der Höhen, also (2/n)*[2n-(2/n)*n*(n-1)/2].
Die eckige Klammer kannst Du zusammenfassen zu (2n-(n-1))=n+1.
Es bleibt als Fläche (2/n)*(n+1)=2+2/n.
Wenn n gegen unendlich geht, geht 2/n gegen 0 und es bleibt als Grenzwert die 2 übrig. Das ist genau die Fläche unter der Geraden im zu berechnenden Intervall.
Natürlich geht das viel einfacher über die Stammfunktion F(x)=2x-(1/2)x²+C.
Die Fläche wäre dann F(2)-F(0)=4-(1/2)*4+C-(0-0+C)=4-2=2.
Aber die Integralrechnung und die Stammfunktionen sind ja nicht vom Himmel gefallen, sondern nahmen ihren Anfang in solchen Grenzwertbestimmungen.
Herzliche Grüße,
Willy
Oh gott vielen vielen dank, dass sie sich so viel mühe gegeben haben!! Danke ich habe es endlich Verstanden!!!!!
Wie lauten denn die Integrale von f(x) = 2 und f(x) = -x?
Erstmals vielen Dank für die schnelle antwort. Dennoch habe ich eine Frage, wieso steht bei Ihrer Formel x^2? Wir hatten es nämlich nicht so gemacht und mit der normalen Vorgehensweise Kot ein falsches Ergebnis raus