Integralrechnung, Grenzwertbildung bei f(x)=2-x [0;2]?

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Hallo,

Du teilst das Intervall in n Streifen ein.

Da das Intervall von 0 bis 2 geht, hat jeder Streifen die Breite von 2/n.

Als Höhe eines jeden Streifens kannst Du den Funktionswert des jeweils rechten Randes nehmen, benutzt also den Grenzwert der Untersumme.

Der erste Funktionswert ist f(2/n), der zweite ist f(2*(2/n)), der dritte ist
f(3*(2/n)) usw. bis f(n*(2/n))

f(2/n) ist 2-2/n, denn 2/n setzt Du für x in die Funktion ein.

f(2*(2/n)) ist dann 2-2*(2/n) usw.

Du hast also eine Reihe von Rechtecken, deren Breite immer gleich bleibt: 2/n, deren Höhe aber kontinuierlich abnimmt: von 2-2/n bis 2-n*(2/n)

So kannst Du die Summe ihrer Flächen bilden:

2/n*(2-2/n)+2/n*(2-2*(2/n))+...+2/n*(2-n*(2/n))

2/n kannst Du als gemeinsamen Faktor ausklammern:

2/n*(2-2/n+2-2*2/n+2-3*2/n+...2-n*2/n)

Die ganzen Zweien in der Klammer summieren sich zu 2n:

2/n*(2n-(2/n+2*2/n+3*2/n+...+n*2/n))

Das ist:

2/n*(2n-2/n*(1+2+...+n))

Die Folge 1+2+...+n ist aber bekannt. Sie hat die Summenformel
n/2*(n+1)

So kommst Du auf 2/n*(2n-(2/n)*(n/2)*(n+1))

Wenn Du die Klammern innerhalb der Klammer ausmultiplizierst:

2/n*(2n-(n+1)),denn 2/n*n/2=1

Also:

2/n*(n-1)

Das ergibt ausmultipliziert:

2-2/n

Wenn n gegen unendlich geht, geht 2/n gegen Null und es bleibt als Grenzwert und somit als Fläche unter dem Graphen 2.

Herzliche Grüße,

Willy

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Da hatte wohl jemand langeweile :P
aber jetzt hab selbst ich die Frage verstanden.

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Vielen vielen Dank!!! Nur eine Frage: Wie kommst du von 2/n*(2n-(n+1)) auf 2/n*(n-1)?

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f(x)=-1*x+2 integriert F(x)=Integral(-1*x+2)*dx=Int(-1*x*dx+Int(2*dx)

F(x)=-1/2*x²+2*x+C

Grundintegral Inetgral x^n*dx= x^(n+1)*1/(n+1)+c siehe Mathe-Formelbuch Integrationsregeln

Die Integrationskonstante C muss immer angehängt werden,weil die beim differenzieren wegfällt.

y=f(x)=m*x+C abgeleitet ergibt dy/dx=f´(x)=m*x^0=m

f´(x)=m*x⁰ integriert F(x)=Integral (m*x⁰*dx)=m*x+C

Fläche unter der Kurve ist (Fläche zwischen den Graphen und der x-Achse)

A=obere Grenze - untere Grenze

untere Grenze xu=0 und xo=2

A=(-1/2*2²+2*2)-(-1/2*0+2*0)=2-0=2 FE Flächeneinheiten

Hinweis: Man darf nicht über Nullstellen hinwegintegrieren,die zwischen xu und xo liegen,da die Fläche oberhalb von der x-Achse positiv ist und die Fläche unter der x-Achse negativ ist.

Mann muss alle Flächen-oberhalb und unterhalb der x-Achse- einzeln berechnen und dann die "Beträge" der Flächen zur Gesamtfläche addieren.

Diese Berechnung mit der Grenzwertbestimmung hab ich noch nie gemacht.

TIPP: Versuch es mal mit der einfachsten Funktion y=f(x)=x

Formel Integral (x^1*dx=x^(1+1) *1/(1+1)=1/2*x²+C

integriert ergibt F(x)=1/2*x²+C

Musst du das mit der Streifenmethode und dem Grenzwert machen?

Das Inegral liefert dir doch die vom Graph und der x-Achse eingeschlossene Fläche (oberhalb positiv, unterhalb negativ).

Bei deiner Aufgabe ist der Graph eine Gerade und schneidet die Koordinatenachsen bei (0|2) und (2|0). Somit ist die Fläche doch ein Dreieck. Und die Fläche des Dreiecks ist 0,5 * Grundseite * Höhe.

Bei dir ist das 0,5 *2 LE * 2 LE = 2 FE.

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Ja, ich muss es mit dem Grenzwert machen, dass das einfacher geht weiß ich ^^

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Es geht bei dieser Aufgabe nicht in erster Linie darum, de Fläche zu berechnen, was bei einem rechtwinkligen Dreieck jeder Sechstkläßler zustandebringt, sondern das Wesen der Integralrechnung zu begreifen, die eine Fläche unter einem Graphen in unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke unterteilt, deren Flächensumme letztlich der Fläche unter dem Graphen im berechneten Intervall entspricht, weil man sich dieser Fläche unendlich annähert.

Natürlich ist die Berechnung über den Grenzwert viel komplizierter als einfach die Stammfunktion zu bilden und das untere Integral vom oberen abzuziehen.

Wer aber einfach nur vorgekaute Methoden anwendet, ohne sich Gedanken darüber zu machen, wo die Methoden herkommen und warum sie funktionieren, wird niemals das Wesen der Mathematik begreifen.

Meine Hochachtung vor dem Lehrer, der sich die Mühe macht, die Schüler einmal hinter die Kulissen schauen zu lassen und ihnen nicht nur beibringt, die nächste Klausur zu überleben.

Herzliche Grüße,

Willy

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