Integralrechnung, Grenzwertbildung bei f(x)=2-x [0;2]?
Ich hab eine dringende Mathe-Frage. Wir haben im Unterricht nun mit der Integralrechnung begonnen und haben jetzt mit dem Grenzwert solcher weitergemacht. Das Prinzip ist mir klar: Der Flächeninhalt unter der Funktion soll bestimmt werden. Wir haben immer die "Streifen"-Methode genutzt. Da das aber zu ungenau ist, lassen wir die Zahl der Streifen gegen unendlich laufen. Die folgende Aufgaben bringt mich aber zum Verzweifeln: f(x)=2-x im Intervall von 0 bis 2. Wäre total klasse, wenn mir dabei jemand helfen könnte (am besten mit Erklärung xD) Ich bedanke mich schonmal im voraus!
6 Antworten
Hallo,
Du teilst das Intervall in n Streifen ein.
Da das Intervall von 0 bis 2 geht, hat jeder Streifen die Breite von 2/n.
Als Höhe eines jeden Streifens kannst Du den Funktionswert des jeweils rechten Randes nehmen, benutzt also den Grenzwert der Untersumme.
Der erste Funktionswert ist f(2/n), der zweite ist f(2*(2/n)), der dritte ist
f(3*(2/n)) usw. bis f(n*(2/n))
f(2/n) ist 2-2/n, denn 2/n setzt Du für x in die Funktion ein.
f(2*(2/n)) ist dann 2-2*(2/n) usw.
Du hast also eine Reihe von Rechtecken, deren Breite immer gleich bleibt: 2/n, deren Höhe aber kontinuierlich abnimmt: von 2-2/n bis 2-n*(2/n)
So kannst Du die Summe ihrer Flächen bilden:
2/n*(2-2/n)+2/n*(2-2*(2/n))+...+2/n*(2-n*(2/n))
2/n kannst Du als gemeinsamen Faktor ausklammern:
2/n*(2-2/n+2-2*2/n+2-3*2/n+...2-n*2/n)
Die ganzen Zweien in der Klammer summieren sich zu 2n:
2/n*(2n-(2/n+2*2/n+3*2/n+...+n*2/n))
Das ist:
2/n*(2n-2/n*(1+2+...+n))
Die Folge 1+2+...+n ist aber bekannt. Sie hat die Summenformel
n/2*(n+1)
So kommst Du auf 2/n*(2n-(2/n)*(n/2)*(n+1))
Wenn Du die Klammern innerhalb der Klammer ausmultiplizierst:
2/n*(2n-(n+1)),denn 2/n*n/2=1
Also:
2/n*(n-1)
Das ergibt ausmultipliziert:
2-2/n
Wenn n gegen unendlich geht, geht 2/n gegen Null und es bleibt als Grenzwert und somit als Fläche unter dem Graphen 2.
Herzliche Grüße,
Willy
Da hatte wohl jemand langeweile :P
aber jetzt hab selbst ich die Frage verstanden.
Ich glaube das größte Problem ist "Grenzwert". Das ist hier nicht der Fall vor Grenzwertbetrachtung steht immer ein lim und ist auch ein völlig anderes Thema.
- Die Integralschlange ist bei mir INT
- hoch (Exponentalzeichen) ^:
INT[0;2] (-x + 2) dx
Regel ist ja beim Integrieren:
INT (x^n) dx = 1/(n+1) * x^(n+1)
INT (3) dx = 3x
dein n ist in dem Falle 1 : x^1
So nun zu deiner Funktion:
-1 / 2 * x² + 2x |[0;2]
Das heißt für x die Grenzen einsetzen und von einander subtrahieren -> Obere minus untere Grenze. Obere grenze ist 2 die untere 0
-0,5 * 2² + 2 * 2 -( -0,5 * 0² + 2 * 0)
-0,5 * 4 + 4 - 0 = 2
Das wars auch.
Kleiner Beitrag noch. normalerweise kommt an die Stammfunktion immernoch ein c' , das kannst du dir jedoch bei bestimmten Integralen (also solche mit Grenzen) sparen, da es wieder raus fliegt.
So weit, dass man hier allgemeine Integrationsregeln anwenden kann, ist der Fragesteller m.E.n. noch nicht.
In der Frage wird ja explizit nach der Streifenmethode gefragt, welche ja eher die Herleitung des Integralsbegriffs ist.
Das Problem scheint darin zu liegen, dass er nicht weiß, wie man bei f(x)=x-2 im Intervall [0;2] die Streifenmethode anwendet.
Leider wissen wir ja nicht mehr - ob das Problem jetzt bei der Bildung der Ober- und Untersumme liegt, oder doch eher bei der darauf folgenden Grenzwertbetrachtung.
f(x)=-1*x+2 integriert F(x)=Integral(-1*x+2)*dx=Int(-1*x*dx+Int(2*dx)
F(x)=-1/2*x²+2*x+C
Grundintegral Inetgral x^n*dx= x^(n+1)*1/(n+1)+c siehe Mathe-Formelbuch Integrationsregeln
Die Integrationskonstante C muss immer angehängt werden,weil die beim differenzieren wegfällt.
y=f(x)=m*x+C abgeleitet ergibt dy/dx=f´(x)=m*x^0=m
f´(x)=m*x⁰ integriert F(x)=Integral (m*x⁰*dx)=m*x+C
Fläche unter der Kurve ist (Fläche zwischen den Graphen und der x-Achse)
A=obere Grenze - untere Grenze
untere Grenze xu=0 und xo=2
A=(-1/2*2²+2*2)-(-1/2*0+2*0)=2-0=2 FE Flächeneinheiten
Hinweis: Man darf nicht über Nullstellen hinwegintegrieren,die zwischen xu und xo liegen,da die Fläche oberhalb von der x-Achse positiv ist und die Fläche unter der x-Achse negativ ist.
Mann muss alle Flächen-oberhalb und unterhalb der x-Achse- einzeln berechnen und dann die "Beträge" der Flächen zur Gesamtfläche addieren.
Diese Berechnung mit der Grenzwertbestimmung hab ich noch nie gemacht.
TIPP: Versuch es mal mit der einfachsten Funktion y=f(x)=x
Formel Integral (x^1*dx=x^(1+1) *1/(1+1)=1/2*x²+C
integriert ergibt F(x)=1/2*x²+C
Und wo liegt jetzt das Problem, auf f(x)=2-x die Streifenmethode anzuwenden? Das Ding ist im Intervall [0 ; 2] sowieso konstant positiv, also dürfte es wirklich absolut keine Probleme geben.
Man braucht ja nicht mal Integralrechnung dazu. Die Fläche in diesem Intervall ist exakt dreieckig und somit sehr leicht zu berechnen. Da du es ja aber doch mit den Streifen tun sollst, muss ich wissen, wo genau das Problem liegt.
Was rauskommt weiß ich ja, dass ist ja einfach zu berechnen, wie du es schon eben gesagt hast. Wir sollen es trotzdem hierbei anwenden. Mein Problem ist nicht die Streifenmethode, sondern die Grenzwertbildung.
Insgesamt verstehe ich auch alles. Ich verstehe die Integralrechnung und auch im großen und ganzen die Grenzwertbildung, aber meine große Frage ist, wie ich das mit dieser Aufgabe mache. Ich frage mich, wie ich das mit dem Intervall von 0 bis 2 mache.
An welchen Funktionen habt ihr das denn bereits geübt?
Ein Intervall muss dabei nämlich auch gegeben worden sein, also sehe ich echt nicht, wo das Problem ist.
Ich nehme mal an, ihr habt mit Ober- und Untersummen gerechnet, oder?
Wir hatten immer das Intervall (0;1). Mein Problem hat sich nun aber erledigt, habs verstanden ;)
Musst du das mit der Streifenmethode und dem Grenzwert machen?
Das Inegral liefert dir doch die vom Graph und der x-Achse eingeschlossene Fläche (oberhalb positiv, unterhalb negativ).
Bei deiner Aufgabe ist der Graph eine Gerade und schneidet die Koordinatenachsen bei (0|2) und (2|0). Somit ist die Fläche doch ein Dreieck. Und die Fläche des Dreiecks ist 0,5 * Grundseite * Höhe.
Bei dir ist das 0,5 *2 LE * 2 LE = 2 FE.
Ja, ich muss es mit dem Grenzwert machen, dass das einfacher geht weiß ich ^^
Es geht bei dieser Aufgabe nicht in erster Linie darum, de Fläche zu berechnen, was bei einem rechtwinkligen Dreieck jeder Sechstkläßler zustandebringt, sondern das Wesen der Integralrechnung zu begreifen, die eine Fläche unter einem Graphen in unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke unterteilt, deren Flächensumme letztlich der Fläche unter dem Graphen im berechneten Intervall entspricht, weil man sich dieser Fläche unendlich annähert.
Natürlich ist die Berechnung über den Grenzwert viel komplizierter als einfach die Stammfunktion zu bilden und das untere Integral vom oberen abzuziehen.
Wer aber einfach nur vorgekaute Methoden anwendet, ohne sich Gedanken darüber zu machen, wo die Methoden herkommen und warum sie funktionieren, wird niemals das Wesen der Mathematik begreifen.
Meine Hochachtung vor dem Lehrer, der sich die Mühe macht, die Schüler einmal hinter die Kulissen schauen zu lassen und ihnen nicht nur beibringt, die nächste Klausur zu überleben.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen vielen Dank!!! Nur eine Frage: Wie kommst du von 2/n*(2n-(n+1)) auf 2/n*(n-1)?