Wie zeichne ich Ober- und Untersumme ein und rechne ich diese aus, wenn der entscheidende Teil des Graphen unter der x-Achse liegt?

3 Antworten

Du musst das Integral des Graphen getrennt betrachten, du musst dieses für den Fall berechnen, dass der Graph über der X-Achse liegt, und gesondert dazu, wenn er unter dieser liegt. Nun zu deiner Frage. Betrachte einfach den Betrag von den Y-Werten, also tue einfach so, als ob das + und - auf der Y-Achse vertauscht worden wäre, dann geh einfach so weiter vor, wie du es im Unterricht gelernt hast. 

Betrag:  (Beispiel)

I6I = 6 

I(-7)I = 7    

I0I = 0   

Im Endeffekt rechnest du eigentlich:

 I(x)I = (x²)^(1/2)  II (...)^1/2 = Quadratwurzel 

Dabei quadrierst du zuerst das x und ziehst dann anschließend die Wurzel, dadurch erhälst du stets, egal ob positiv oder negatives x, das positive x.

Mir scheint, Du hast das voll durchblickt!

Einzige Anmerkung: Bei der Obersumme multiplizierst Du die Breite der Intervalle jeweils mit den größten Funktionswerten (also den kleinsten negativen). Dann erhältst Du insgesamt natürlich ein negatives Ergebnis!!

Was lernt uns das? Ein Integral kann auch negativ werden. Und damit rechnest Du nicht unbedingt den Flächeninhalt aus.

Beispiel: Deine Funktion gibt Dir die Geschwindigkeit eines PKWs an - negative Geschwindigkeit bedeutet dann, dass der PKW rückwärts fährt.
Das Integral über einem Intervall gibt Dir dann an, wie weit Du Dich in dieser Zeit insgesamt vom Startpunkt zu Beginn dieses Intervalls wegbewegt hast; das Vorzeichen gibt dann die (Gesamt)Richtung an.
So kann es also durchaus sein, dass das Integral den Wert 0 hat (Funktionswerte liegen teils im Positiven, teils im Negativen). Dann wärest Du möglicherweise die gesamte Zeit gefahren, befindest Dich zum Schluss aber wieder am Anfangspunkt (soll ja vorkommen :-) ).

4

Vielen dank! ich glaub ich habs jetzt in der Hausaufgabe richtig hinbekommen ;)

0

Das ist etwas, worauf man von Anfang an achten muss:
man darf immer nur von Nullstelle bis Nullstelle integrieren.
Die Flächengrößen dann ohne Vorzeichen addieren!

Wenn man über ein Nullstelle kommt, wird gnadenlos automatisch subtrahiert.

Verifizierung: Integriere mal y = x³ von -2 bis +2 durchgehend und dann von -2 bis 0 sowie von 0 bis +2.


Matheproblem, komme nicht weiter?

Musste die Frage nochmal stellen, da das Bild fehlte.
Komme bei Aufgabe 9 gar nicht weiter.
Verstehe da nur Bahnhof.
Lg und vielen Dank schonmal für die Hilfe

...zur Frage

Wie kommt man bei Integralrechnung auf f(x)?

Hallo,
wir müssen die Nummer 2 als Hausaufgabe machen. Ich verstehe allerdings nicht, wie man vom Flächeninhalt auf die Funktion f kommen soll.
Danke für Hilfe!

...zur Frage

BRAUCHE HILFE! Analysis Aufgabe, Integralrechnung?

Hallo Leute,

unzwar rechne ich gerade Anwendungsaufgaben im Themengebiet Analysis durch und bin mir mit meinen Lösungen nicht sicher, da ich mir sie nicht angucken kann. Ich habe leider ein wenig Probleme beim Interpretieren der Funktion.. Die beiden Aufgaben die ich meine sind 2 und 3. und 4. im folgenden Link: https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/integral/angewandte_integrale/aufgaben

Ich schreibe euch meine Lösungen auf:

2.) bei dieser Funktion habe ich es so verstanden, dass diese Funktion mir eine Ändeurngsrate angibt, da im text bekannt ist, dass der Preis ab einer bestimmten Minutenanzahl immer mehr sinkt.

F(x) gibt mir dann soweit ich verstanden habe, die Kosten an oder?

Ich habe das Integral gebildet mit den Grenzen 0 und 100 und habe den Wert 14,9 Euro rausbekommen. Für die durschnittlichen Kosten habe ich dann den Mittelwertsatz verwendet also 1/100 mal 14,9 = 0,149 Euro pro min.

Stimmt das alles so?

Bei 3.) war ich mir ein wenig unsicher.. f(t) gibt mir ja die momentane Eintrittsrate an, und F(t) die Anzahl der Personen die sich im Raum befinden oder?

bei a.) musste ich dann ziemlich überlegen.. ich habe f(t) 0 gesetzt, weil die Funktion die mom. Änderungsrate angibt, d.h. ja dann das wenn keine Personen mehr eintreten die mom. Eintrittsrate 0 ist oder?

wenn ich beispielsweise f'(t) gebildet hätte, würde ich ja die maximale momentante Eintrittsrate berechen oder? Ich habe 11,51 raus.. da wusste ich nicht ob ich diesen Wert noch durch 10 teilen muss, weil die einheit ja pro 10 min ist..

Dann habe ich das Integral mit den grenzen von 7 bis 0 gebildet, und habe den Wert 6989 personen ermittelt.. kommt das hin?

für die durchschnittliche Anzahl habe ich diesen Wert mal 1/7 genommen.. also so ungefähr 998,42 personen pro 10 min?

Ist das alles richtig so?

bei 4.) gibt der Graph ja die Geschwindigkeit an.. ich habe erst direkt an den Hochpunkt bei t=1 gedacht, aber weil diese Fkt die Geschwindigkeit angibt wäre dieser Punkt ja in F der Wendepunkt oder, d.h t=1 ist der Punkt an dem die Geshwindigkeit am höchsten ist? d.h. der höchste Punkt wäre dann bei ungefähr t=6 weil diese NST in F ein Hochpunkt ist? 

würde bei b.) 40 m hinkommen? ich habe es mithilfe der Kästchen abgeschätzt.. und ist der Ball dann 20m vom Boden entfernt?

...zur Frage

Integralrechnung, ich komme nicht weiter?

Die Funktion lautet:

f1(x)= -1/2x^2+7

und es ist eine Parabel.

Die Aufgabe wo ich Schwierigkeiten habe lautet:

berechnen Sie die Breite und Höhe der Halle

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

...zur Frage

Was bedeutet dieses Integralzeichen (Bild im Anhang)?

Als ich letztes Mal durch Google gestöbert bin, habe ich Folgendes Integral bzw. Integralzeichen gesehen:
Siehe unten.
Was bedeutet dieses Integralzeichen, lernt man es noch in der Schule, wenn nein, wieso?

Danke,
Lg

...zur Frage

Integration Kettenregel?

Ich kenne bereits die Kettenregel (normal) beim ermitteln der Stammfunktion. Ich nutze normalerweise folgende:

[ (1/a+1) * (1/m) * (mx+b)^(a+1) +c]

Jedoch habe ich ein Problem, das mich verwirrt. Ich habe das Integral:

∫ 3(4x-2)^5 dx

Eigentlich würde ich jetzt ganz normal die Kettenregel von eben anwenden, aber was mache ich mit der 3 als Faktor davor? Denke ich mir den einfach weg? Muss ich den irgendwie loswerden? Brauche ich einen neuen Faktor? Ich hänge hier wirklich fest.

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?