Wie hängen die Ober- und Untersumme mit der genauen Fläche unter dem Graphen zusammen?
3 Antworten
was für diese Gerade gilt , gilt auch für "kurvige" Graphen
Wie man sieht , wird die Fläche zwischen Gerade und x-Achse durch die
Untersumme ..... unterschätzt
Obersumme ..... überschätzt
.
lässt man aber die Breite der Säulen immer kleiner werden , ähneln sich O und U - Summe immer mehr.
Lässt man die Breite der Säulen gegen Null gehen sind O und U-Summe identisch und gleich der gesuchten Fläche unter der Geraden.
Schau dir dieses Video an :
Für Δx → 0 (man schreibt dann dx) nähern sich Obersumme und Untersumme der Fläche unter dem Graphen beliebig an.
Sagen wir mal, du hast eine Funktion f(x) und interessierst dich für die Fläche unter dem Graph im Intervall [0; 10].
Als Annäherung kannst du Δx = 1 wählen und die Ober- und Untersumme berechnen. Somit weißt du, dass die Fläche irgendwo zwischen Ober- und Untersumme liegen muss. Diese Abschätzung ist aber ungenau. Um sie zu verbessern, kannst du Δx verkleinern. Dann liegen Ober- und Untersumme näher beieinander. Je kleiner Δx, umso genauer kannst du also die Fläche bestimmen.
Wenn Δx unendlich klein wäre, hättest du unendlich viele Rechtecke, deren Flächen du addieren müsstest, um die Ober- und Untersummen zu bestimmen. Das ist so nicht möglich, weil du damit ewig lang beschäftigt wärst. Aber Ober- und Untersumme wären dann gleich. Somit hättest du die Fläche exakt bestimmt.
Genau das stellt das Integral dar. Praktischerweise kann man Integrale berechnen, ohne unendliche Summen berechnen zu müssen.
kannst du mir das nochmal genauer erklären bitte