F(x)= x² für das Intervall x=[0;2] Obersumme ausrechnen?

Hallöchen, Ich habe eine Hausaufgabe, bei der ich die Obersumme für f(x)= x² ausrechnen und dabei n viele Abschnitte benutzen soll.

Kann mir bitte jmd dort helfen? :)

Answer 1

[frankfurt1000]

$O_n\ =\ \frac{2}{n}\cdot\left(1\cdot\frac{2}{n}\right)^2+\frac{2}{n}\cdot\left(2\cdot\frac{2}{n}\right)^2+...+\frac{2}{n}\cdot\left(n\cdot\frac{2}{n}\right)^2$ $O_n=\frac{2}{n}\cdot1^2\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+\frac{2}{n}\cdot2^2\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+...+\frac{2}{n}\cdot n^2\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2$ $O_n=\frac{2}{n}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2\cdot\left(1^2+2^2+...+n^2\right)$ Es gilt: $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)$ Also: $O_n=\frac{2}{n}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)$ Ab jetzt nur noch vereinfachen: $O_n=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{n^2+n}{n^2}\right)\cdot\left(\frac{2n+1}{n}\right)$ $O_n=\frac{4}{3}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2+\frac{1}{n}\right)$ $\lim_{n\rightarrow\infty}O_n=\frac{8}{3}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Jahrgangsbester der Abschlussklasse und aktuell Mathestudium