F(x)=1/2x^2 Intervall (0,1) Obersumme ausrechnen?
Kann mir jemand helfen?
Mit lim->0
1 Antwort
Hallo,
Du teilst den Bereich zwischen 0 und 1 auf der x-Achse in n gleich große Abschnitte ein. Jeder hat dann eine Breite von 1/n.
Das ist die Breite eines jeden Rechtecks.
Die Höhe ist der jeweilige Funktionswert,
wenn Du für x nacheinander 1/n, 2/n, 3/n bis n/n eingibst.
So kommst Du auf (1/n)*(1/2)*(1/n)²+(1/n)*(1/2)*(2/n)²+...+(1/n)*(1/2)*(n/n)².
1/(2n³) kannst Du als gemeinsamen Faktor herausziehen.
Die Obersumme ist also (1/(2n³))*(1+4+9+...+n²).
In der zweiten Klammer hast Du die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n, für die es die Summenformel n³/3+n²/2+n/6 gibt, die sich durch vollständige Induktion leicht beweisen läßt.
Die Obersumme von x=0 bis x=1 ist demnach
(1/(2n³)*(n³/3+n²/2+n/6).
Ausmultipliziert ergibt das nach Kürzen 1/6+1/(4n)+1/(12n²).
Geht n gegen unendlich und so die Breite der Rechtecke gegen Null, während deren Anzahl gegen unendlich geht, gehen auch die Terme 1/(4n) und 1/(12n²) gegen Null, so daß als Grenzwert der Obersumme 1/6 FE übrigbleibt.
Herzliche Grüße,
Willy
