Differentialquotient ausrechnen?

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3 Antworten

"Differentialquotient y´=dy/dx=f´(x)=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)

mit x2-x1=h  ergibt x2=h+x1 mit x1=xo ist die Stelle,wo die Steigung gesucht wird

also f´(xo)=(f(x0+h)-f(xo))/h

f´(xo)=(xo^2+2*h*xo+h^2-xo-h-xo^2+xo)/h=2*xo-1+h nun h gegen Null

f´(xo)=2*xo - 1 oder allgemein f´(x)=2*x-1

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Sei gegeben:

f(x) = x^2 - x , stetig auf ganz IR.

Wir suchen nun die Ableitung über den Differentialquotienten:

(f(x + h) - f(x))/h = ((x + h)² - (x+h) - x² + x)/h = (2xh + h² - h)/h

= 2x - 1 + h  ----> 2x - 1  für  h ---> 0

---> f´(x) = 2x - 1

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Kommentar von poseidon42
22.02.2017, 13:28

Alternativ hätte man auch folgendes machen können:

f(x+h) = (x+h)² - (x+h) = x² + 2xh + h² - x - h

= x² - x + (2xh + h² - h)

= f(x) + (2x - 1)*h + h²

Nach dem Prinzip der linearen Approximierung folgt:

f´(x) = 2x - 1    mit  Korrekturglied: R(h) = h²  mit  R(h)/h --> 0 für h->0

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Der bessere Ansatz ist [ (x+d)^2-2(x+d)] - (x^2-2x) / d für d->0

Multipliziert man das aus, bleibt 2x-1 stehen.

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Kommentar von surbahar53
22.02.2017, 11:22

Falsch geklammert [ (x+d)^2 - 2(x+d) - (x^2-2x) ] / d

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