Warum steht in det unteren Zeile eine Implikation und keine Äquivalenz?
Ich habe eine Frage bezüglich der Injektivität: Warum steht in det unteren Zeile (bei "oder alternativ") eine Implikation und keine Äquivalenz? Die Logik funktioniert an der Stelle doch in beide Richtungen.
3 Antworten
Bei der unteren Aussage könnte auch <=> stehen, das wäre nicht falsch.
Aber die Richtung <= ist ja trivial und immer erfüllt. Die bringt keinen Nutzen für die Aussage.
Entscheidend für Injektivität ist nur diese Richtung =>
Das ist der Punkt. Daß Du den gleichen Funktionswert bekommst, wenn Du den gleichen Wert für die Variable einsetzt, trifft auf jede Funktion zu, ob injektiv oder nicht. Wenn ich um 14.00 Uhr für x eine 2 einsetze, kommt das Gleiche heraus wie das, was herauskommt, wenn ich um 14.05 Uhr für x eine 2 in die gleiche Funktion einsetze. Interessant wird's erst, wenn ich aus dem Funktionswert eindeutig den Wert für die Variable bestimmen kann. Das geht bei f(x)=x² nicht.
4=x² läßt nicht erkennen, ob x eine 2 oder eine -2 sein soll.
Das ist eine Kontraposition. Einmal hat man f(x) = f(y) ⇒ x = y und das andere mal hat man x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y). Allgemein sind die Aussagen A ⇒ B und ¬B ⇒ ¬A äquivalent.
Die untere Definition ist nur die obere nach der Regel umgeformt. Die andere Richtung f(x) ≠ f(y) ⇒ x ≠ y wäre oben entsprechend x = y ⇒ f(x) = f(y). So wie die Implikation x = y ⇒ f(x) = f(y) oben überflüssig ist, so ist auch deren Kontraposition überflüssig.
Naja, das sind zwei unterschiedliche Ausführungen derselben Aussage.
Die obere heißt: f ist injektiv genau dann, wenn gilt: ist x1 <> x2 ist, dann ist auch f(x1) <> f(x2).
Die untere heißt: Wenn f injektiv ist und f(x1) = f(x2) ist, so folgt daraus, dass auch x1 = x2 ist. Oder anders formuliert: Wenn aus der Information f(x1) = f(x2) folgt, dass auch x1 = x2 ist, dann ist f injektiv.
Das bedeutet dasselbe, ist nur aus unterschiedlichen Blickrichtungen betrachtet.
Injektivität bedeutet einfach, dass keine zwei unterschiedlichen Werte aus dem Definitionsbereich auf denselben Wert im Wertebereich abgebildet werden.
Beispiel:
f(x) = 1 ist nicht injektiv, denn weder gilt f(x1) <> f(x2) für unterschiedliche x1 und x2, noch folgt aus f(x1) = f(x2) dass x1 = x2.
Beide Betrachtungsweisen sind aber beispielsweise erfüllt für f(x) = x.