Äquivalenz/Implikationen (Mathe, Logik)?
In der Lösung steht, dass dass das obere das untere impliziert, also x-1 = Wurzel(7-3x) ⇒ (x-1)² = 7-3
Aber warum ist das so und warum gilt das anders herum nicht? Warum ist das nicht äquivalent?
2 Antworten
Weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, zumindest wenn nicht garantiert ist, dass beide Seiten größer als 0 sind.
Kleines Beispiel welches offensichtlicher ist:
Betrachte die Gleichung
-1 = x
Diese Gleichung hat genau eine Lösung
Wenn du beide Seiten aber Quadrierst bekommst du:
1=x^2
Diese gleichung hat die Lösungen -1 und 1, also eine zusätzliche Lösung die aber die erste nicht Löst.
Die erste Gleichung impliziert die zweite (da wenn die erste wahr ist, ist die zweite auch wahr) aber nicht umgekehrt (da 1 keine Lösung der ersten ist)
Somit ist das keine Äquivalenzumformung.
Da die Erste Gleichung die zweite impliziert, kannst du mit der zweiten trotzdem alle Lösungen finden, indem du die zweite Gleichung löst und dann alle Lösungen in die erste Gleichung einsetzt, um zu prüfen ob diese die Gleichung lösen (denn wenn die zweite Gleichung nicht erfüllt ist, ist automatisch die erste auch nicht erfüllt).
Weil, wenn du von (x-1)^2 die Wurzel ziehst, erhältst du zwei Lösungen, nämlich +- sqrt(7-3x)