Ist diese Aussage Valide (Logik)?
Hallo
Eine Implikation und das Kontrapositive dieser Implikation sind ja logisch equivalent. Also
(p —> q) = (~q —> ~p)
was nicht logisch equivalent ist, ist
(p —> q) = (~p —> ~q)
Jetzt frag ich mich, ob die Aussage
(p —> q) —> (~p —> ~q) ein Wiederspruch ist, eine Tautologie, oder eine eigene Aussage, ich komm aber nicht weiter. Meine Intuition sagt, dass es ein wiederspruch ist, weil beide aussagen ja nicht logisch equivalent sind, man kann nicht von dem einen auf das andere schliessen, oder? Hilfe, Hilfe, Hilfe
LG
3 Antworten
(p —> q) —> (~p —> ~q)
~(p —> q) \/ (~p —> ~q)
~(~p \/ q) \/ ( p \/ ~q)
(p /\ ~q) \/ ( p \/ ~q)
Hilft das? Hab ich korrekt umgeformt?
Keine Tautologie, ~p, q macht die Formel unwahr, ist also falsifizierbar. Kannst im Zweifel auch immer ne Wahrheistabelle machen.
Oder harpert es bei den Junktoren und deren "gewichtung"?
(p —> q) —> (~p —> ~q)
Da hast du ja 3 Implikationen. Die Klammern enthalten eine Imlikation und die werden durch eine Implikation verbunden.
Ich glaube, dass das eine Tautologie ist:
Nehmen wir an, die gesamte Aussage kann falsch sein, dann muss die linke Seite (vom mittleren Pfeil) wahr sein und die rechte Seite (vom mittleren Pfeil) falsch.
Und damit die rechte Seite falsch ist, muss hier (in der rechten Seite der Gesamtaussage) die linke Seite wahr sein und die rechte falsch.
Also muss p falsch sein und q wahr.
Aber eingesetzt macht das die linke Seite der Gesamtaussage falsch. Was die Gesamtaussage wieder wahr macht.
Folglich kann die Aussage nur wahr sein.
wenn das eine Tautologie ist, dann muss es doch eine Regel geben wie bei den Regeln der schlussfolgerung? Hat das einen Namen oder so? Und danke!
Also ist das keine Tautologie. Und kann in einem bestimmten Fall unwahr sein? Macht das dann die Gesamtaussage zu einem Widerspruch?
Nein. Nur weil eine Aussage keine Tautologie ist, ist sie noch lange kein Widerspruch.
Ah ok, bei einem Widerspruch müsste die Gesamtaussage in allen Fällen unwahr sein?
Ja so funktionieren Widersprüche. Sie muss mit der Formel \neg p \land p oder \bot gleich sein. Also immer falsch.
Am Besten formt man das einfach zur Tautologie oder Kontradiktion, wenn möglich, um:
(p > q) > (~p > ~q)
~(~p v q) v (p v ~q)
((p ^ ~q) v p) v ~q
p v ~q
P oder nicht q ist keine Tautologie sondern entspricht: q -> p. Somit ungültig/erfüllbar, aber kein Widerspruch
Damit die Gesamtaussage falsch sein kann, muss die Konklusion (rechter Teil) der Implikation falsch sein, während die Bedinung erfüllt ist, richtig.
(~p -> ~q)
Dafür muss wiederum q wahr sein, während p falsch bleibt, soweit si gut.
Aber wenn man diese Form in die Linke einsetzt erhält man: p -> q = f -> w. Diese Aussage ist wiederum wahr, wodurch aus dem wahren etwas falsches folgt.