Hilfe bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit?
Kann jemand mir bitte dabei helfen?
Mein Ansatz war 120×3+30/4= 97,5 km/h. Doch die Lehrerin hat es als Fehler benotet und meinte, ich soll nochmal darüber nachdenken. Ich komme einfach nicht darauf und finde im Internet keine Beispiele.
Die Aufgabe:
Peter fährt mit dem Zug von seinem Wohnort zum Studienort. Auf dem letzten Teil Strecke (1/4 der Strecke) ist eine Baustelle, so dass der Zug nur noch mit 30 km/h fahren kann. Der erste Teil der Strecke (3/4) wird mit 120 km/h durchfahren.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit.
7 Antworten
Ja, das ist eine hübsche Falle.
Stell es dir mal so vor, du hättest zwei gleich lange Streckenteile, auf dem einen Teil fährst du ganz langsam, auf dem anderen rasend schnell - also meinetwegen 100 km, auf der ersten Hälfte fährst du 10 km/h, auf der zweiten rasend schnell, meinetwegen mit Lichtgeschwindigkeit oder so.
Dann brauchst du für die erste Hälfte 5 Stunden. Und egal, wie schnell du in der zweiten Hälfte bist - die fünf Stunden sind verbraucht. Du kannst die Gesamtstrecke also nicht in weniger als fünf Stunden schaffen, egal wie schnell du im zweiten Teil bist, d. h. die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt höchstens 20 km/h. Das zeigt, dass du nicht einfach den Mittelwert bilden kannst.
Stattdessen musst du ausrechnen, wie viel Zeit gebraucht wird. Nun kennst du die Strecke nicht, aber das macht nix, wir nennen sie einfach S.
Die mittlere Geschwindigkeit ist gleich die gesamte Strecke S durch die Gesamtzeit, die gebraucht wird. Dabei wird
3/4 S mit der Geschwindigkeit 120 km/h gefahren, dazu braucht man also
(3/4 )S / 120 = 1/160 S
1/4 S wird mit der Geschwindigkeit 30 km/h gefahren, dafür braucht man also
(1/4 S) / 30 = 1/120 S h
Diese beiden Zeiten addiere ich, damit habe ich die Gesamtzeit:
(1/160 + 1/120) S = 7/480 S
Dadruch teile ist jetzt S und bekomme die Geschwindigkeit:
v = S / (7/480 S) = 480/7 und das sind ungefähr 68,6 km/h
Hier herrscht das sogenannte Harmonische Mittel .
Du hast den Ansatz des arithmetischen Mittels gewählt.
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Man kann sich eine Streckenlänge ausdenken, die einzelnen Strecken und Zeiten bestimmen : So kommt man zum Ziel. Ist evtl in der Schule sogar erwünscht , wenn die Formel für das HM nicht gelehrt wurde.
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Aber es braucht besser eine Formel
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und die ist
1 / [ ( Anteil1 * 1/v1 ) + ( Anteil2 * 1/v2) ]
die kann man beliebig erweitern um Anteil3 , 4 usw
Die 1 im Zähler ist übrigens die Summe der Anteile, und die ist immer 1.
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hier
1 / [ 1/4 * 1/30 + 3/4 * 1/160 ] = 68.57 km/h
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
- Ermitteln der beiden Wertepaare Wir bezeichnen die beiden Zeitpunkte t 1 =5s und t 2 =10s. ...
- Berechnung der Differenzen Im nächsten Schritt muss ermittelt werden, welche Zeit innerhalb dieses Intervalls verstrichen ist und wie viel Weg zurück gelegt wurde. ...
- Berechnen des Differenzenquotienten
www.mathe-lexikon.at/analysis/differentialrechnung/einfuehrung/sekantensteig
Die Schreibweise ist falsch, 120*3/4 + 30* 1/4 = das richtige Ergebnis.
also ich habe die Aufgabe auf 480 km aufgeteilt.
- Teil = 480 * 0,75 = 360 km
- Teil = 480 * 0,25 = 120 km
da der Zug die ersten 360 km mit 120 km/h fährt, beträgt die Zeit für den ersten Streckenabschnitt genau 3 Stunden.
da der Zug die letzten 120 km mit 30 km/h fährt, beträgt die Zeit für den letzten Streckenabschnitt genau 4 Stunden.
Insgesamt braucht der Zug für die 480 km also 7 Stunden.
480 km in 7 Stunden sind dann durchschnittlich
480 km : 7 h = 68,57142857 ≈ 68,6 km/h
Statt der konkreten Streckenlängen kannst Du genausogut die Streckenanteile nehmen und dieselbe Formel anwenden. Du setzt die unbekannte Stecke einfach auf 1, dann kannst Du die angegebenen Anteile direkt übernehmen.
lustig : in meiner in Vorbereitung befindlichen Antwort habe ich auch 480 km .........Nur suche ich die Formel , die ohne konkrete Streckenlänge auskommt.