hat diese Aufgabe eine eindeutige Lösung?
einem Quadrat mit der Seite a wird ein gleichseitiges Dreieck eingeschrieben, dass eine Ecke genau mit der Ecke des Quadrates zusammenfällt. bestimme seine Seite!
8 Antworten
Wenn du eine Planskizze machst, erkennst du, dass die Seite a in zwei Teile x und a-x zerfällt. Du kannst zweimal den Pythagoras ansetzen und erhältst jedes Mal das Quadrat über der Dreieckseite. Setz die beiden anderen Seiten einfach gleich.
Wenn du alle relevanten Stücke auf der linken Seite versammelst, gibt es eine quadratische Gleichung mit x und a. Rechts steht Null.
Zum Vergleich, wenn ich mit nicht vertan habe:
p = -4a und q = a²
Dann p,q-Formel anwenden. Eine Größe wird sich vermutlich verabschieden, die andere ist dann x. Und damit hast du dann auch die Seitenlänge des Dreiecks in Abhängigkeit von a. (x² + a²) und Wurzel ziehen.
Noch Fragen? Schrei(b)!
Oben steht:
"Setz die beiden anderen Seiten einfach gleich."
Natürlich nicht die Seiten von Quadrat und Dreieck, sondern die linken Seiten aus den Pythagorasgleichungen!
Das Worte müsste "einbeschrieben" heißen. Das bedeutet, dass du das Dreieck so in das Quadrat einzeichnen musst, dass die Ecken das Quadrat berühren (also auf den Seiten des Quadrats liegen).
Bei dieser Aufgabe ist zusätzlich verlangt, dass eine Dreiecksecke mit einer Ecke des Quadrats zusammenfällt und dass alle Seiten gleich lang sind.
Gegeben: a … Seitenlänge des Quadrates
Gesucht: s … Seitenlänge des eingeschriebenen Dreiecks
Bedingung: x < a
Lösung: (1) s² = a² + x²
(2) s² = (a-x)² + (a-x)² = 2∙(a-x)²
(1) = (2): a² + x² = 2 ∙ (a-x)²
→ 0 = x² - 4∙x + a² (Normalform d. quadr. Glg.)
Ergebnis: x(1) = 2∙a + a∙√3 (entfällt, denn x >a)
x(2) = 2∙a - a∙√3
s² = a² + x² = a² + (2∙a - a∙√3)²
s² = a² + (4∙a² - 4∙a²∙√3 + 3∙a²)
s² = a² ∙ (1 + 4 - 4∙√3 + 3) = a² ∙ (8 - 4∙√3)
s² ≈ 1,07 ∙ a²
s ≈ 1,035 ∙ a
LG
Typische Lehrerausrede: Wahrscheinlich wollte Halswirbelstrom nur gucken, ob du auch aufpasst (hast du). Danach geht es korrekt weiter.
Stimmt! Ich hatte gerade mal die Brille verlegt. sorry LG
alles klar :D nur eine frage. wie kommst du auf die wurzel von 3?ich verstehe nich wie du zu diesen Ergebnis kommst?
0 = x² - 4∙a∙x + a² (Normalform d. quadr. Gleichung)
x(1;2) = 2∙a ± √(4∙a² - a²) = 2∙a ± √(3∙a²) = 2∙a ± √3 ∙ √a² = 2∙a ± a∙√3
x(1) = 2∙a + a∙√3 = a∙(2+√3) = 3,732∙a (entfällt, weil x > a !)
x(2) = 2∙a - a∙√3 = a∙(2-√3) ≈ 0,268∙a
s² = a² + x² = a² + (0,268∙a)² = a² + 0,071∙a² = 1,071∙a²
s ≈ 1,035∙a
LG
Von der Lösung keine Spur, mach ich mir eine Planfigur.
Wenn das Quadrat die Länge a hat und der Abstand AF = AE = x, dann muss zusätzlich gelten CE = EF = FC
EF = wurzel(x² + x²)
CE = wurzel((a-x)²+a²)
also
2x² = (a-x)² + a²
Das musst du dann nach x auflösen, wurzel(2)*x ist die gesuchte Seitenlänge.
Ich weiß die Formel nicht mehr, aber: ein gleichseitiges Dreieck hat nur 60° Winkel, dh es ist vollkommen egal, welchen Winkel du in welchem Winkel platzierst.
Wenn du das Dreieck so platzierst, dass die Standlinie des Dreiecks (s) auf die Seite des Quadrats (a) fällt ist die Seitenlänge des Quardats gleich den Seitenlängen des Dreiecks, also a=s.
Dabei halbiert eine Spitze des Dreiecks die Seitenlänge a des Quardats.
Lässt sich über die Winkelfunktionen übrigens sehr leicht beweisen bzw wenn du solltest es schon sehen, wenn du es zeichnest.
Das stimmt leider nicht. Wenn a=s wäre, bekämst Du ein gleichschenkliges, aber kein gleichseitiges Dreieck. Siehe die Planfigur von Schachpapa. Gruß, Willy
Die Lösung von Halswirbelstrom ist korrekt, ebenso wie die von Schachpapa. Die Dreieckseite s hat die Länge von etwa 1,035 a.
aber man kann das Dreieck ja in verschiedenen Größen zeichnen, dann gibt es ja mehr lösungen oder?
Jaein. Die Aufgabenstellung ist blöd formuliert. Ich denke, du sollst aus a eine Formel für die Seitenlänge des Dreiecks aufstellen?
Diese Formel wird immer die gleiche bleiben, egal wie groß das Dreieck ist, da sie nur das Verhältnis der Seitenlänge zueinander angibt. Wenn das Dreieck kleiner oder größer ist, wird die Formel einfach mit dem entsprechenden Verhältnisfaktor erweitert. Die Formel an sich wird aber immer die gleiche bleiben.
warum kommt in der 4. Rehenzeile -4x und nicht -4ax. man muss ja des zwischenglie bilden?