Raute und ein gleichseitiges Dreieck?
Das ist die Aufgabe! Kann mir einer helfen?
5 Antworten
Ich nehme mal an, dass gemeint ist, dass alle Seiten ,egal ob Dreieck oder Raute, gleich lang sind.
dann sind oben links und unten rechts 2 Seiten gleich lang.
seien die kleinen Winkel unten links alpha.
dann sind die 2 anderen (gleichen) Winkel dieser 2 gleichschenkligen Dreiecke gleich beta=(180-alpha)/2
d.h. du hast grundsätzlich oben links und unten rechts 2 gleichschenklige dreiecke und in der mitte ein gleichseitiges dreieck.
das in der Mitte hat 3 gleiche Winkel, die 60° sind.
der ganze winkel unten links in der raute ist demnach 2*alpha+60, der rautenwinkel unten rechts ist beta.
Aus geometriegründen müssen der winkel nten links und der winkel unten rechts 180 grad ergeben, also
2*alpha+60+beta=180
gleichermassen wissen wir von oben dass beta=(180-alpha)/2 ist.
mit diesen 2 gleichungen können wir sicherlich alpha und beta bestimmen :-)
benutzt haben wir zusammengefasst die winkelsumme in einer raute, die winkelverhältnisse in einem gleichschenkligen sowie in einem gleichseitigen Dreieck.
Zunächst benenne ich einige Punkte entsprechend der nachfolgenden Skizze, um besser beschreiben zu können, welche Punkte/Strecken/Winkel ich meine.
Die Innenwinkel ∡EAF, ∡AFE, ∡FEA des gleichseitigen Dreiecks betragen jeweils 60°. [Das ist in jedem gleichseitigen Dreieck der Fall, was man recht einfach herleiten kann, indem man ausnutzt, dass die Innenwinkel gleich groß sind und die Innenwinkelsumme in Dreiecken 180° beträgt.]
Da die Strecken [AB], [AE], [AF], [AD] nach Aufgabenstellung gleich lang sein sollen, sind die Dreiecke ABE und AFD gleichschenklige Dreiecke. Insbesondere ist daher ∡AEB = ∡EBA und ∡ADF = ∡EBA. Da außerdem gegenüberliegende Innenwinkel in einer Raute gleich groß sind, ist sogar ∡AEB = ∡EBA = ∡ADF = ∡EBA. Ich bezeichne den entsprechenden Winkel im folgenden mit φ.
Die drei Winkel ∡DFA, ∡AFE, ∡EFC müssen zusammen einen gestreckten Winkel (= 180°) ergeben. Dementsprechend erhält man:
∡EFC = 180° - ∡AFE - ∡DFA = 180° - 60° - φ = 120° - φ
Analog erhält man:
∡CEF = 180° - ∡FEA - ∡AEB = 180° - 60° - φ = 120° - φ
Die Innenwinkelsumme in Dreiecken beträgt 180°.
Im Dreieck CFE erhält man demnach:
∡FCE + (120° - φ) + (120° - φ) = 180°
⇒ ∡FCE + 240° - 2φ = 180°
⇒ ∡FCE = 2φ - 60°
Im Dreieck ABE erhält man:
∡BAE + φ + φ = 180°
⇒ ∡BAE + 2φ = 180°
⇒ ∡BAE = 180° - 2φ
Im Dreieck AFD erhält man:
∡FAD + φ + φ = 180°
⇒ ∡FAD + 2φ = 180°
⇒ ∡FAD = 180° - 2φ
Da gegenüberliegende Innenwinkel in einer Raute gleich groß sind, also insbesondere ∡FCE = ∡BAD ist, erhält man:
2φ - 60° = (180° - 2φ) + 60° + (180° - 2φ)
⇒ 2φ - 60° = 420° - 4φ
⇒ 6φ = 480°
⇒ φ = 80°
Demnach hat man bereits einen Innenwinkel der Raute ermittelt:
φ = 80°
Für den anderen Innenwinkel erhält man:
2φ - 60° = 2 ⋅ 80° - 60° = 100°
Ich hätte das Dreieck oben rechts gar nicht weiter beachtet und direkt die Winkel unten links und obwn links/unten rechts bestimmt. Aufgrund Winkelgleichheiten in der Raute, Winkel im gleichschnekligen sowie gleichseitigen Dreieck :-)
beta liegt gegenüber dem gemeinsamen Eckpunkt (stumpfer Winkel Raute)
alpha ist der spitze Winkel der Raute
gamma ist der Drehwinkel Dreieck gegenüber Raute
alpha + beta = 180° (Nebenwinkel)
beta = 180° - alpha
beta/2 = 90° - alpha/2
rechtwinkliges Dreieck oberhalb des gleichseitigen Dreiecks:
x = 180° - 90° - (90° - alpha/2)
x = alpha/2
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°:
180° - 60° - alpha/2 = alpha
alpha = 80°
Drehwinkel Dreieck in Raute:
gamma = 180° - 2 * alpha = 20°
PS.: Die gleiche Frage hatte ich vor ein paar Tagen schon einmal beantwortet; Frage und Antwort wurden gelöscht.
Wie oft denn noch? Du nimmst eine Raute, deren eine Hälfte das gleichseitige Dreieck ist. Das erfüllt alle Anforderungen.
Also Winkel 60, 60, 120, 120.
harry so wirst du nie den hauptschulabschluss schaffen. kauf dir schon mal so einen stock mit spitze dran wo du den müll im park aufspiesst. und eine flasche schnaps dazu für jeden tag.
