Seitenlänge gleichseitiges dreieck?

Gegeben sind die radien der 4 Kreise, gesucht ist die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

Answer 1

[merkurus]

Hier mal ein Beispiel
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b = a / TAN(α)
b = 1,5 / TAN(30)
b = 2,598076
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b2 = c * COS(alpha)
b2 = 10 * COS(30)
b2 = 8,660254
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Seitenlänge L
L = (2 * b) + (2 * b2)
L = (2 * 2,598076) + (2 * 8,660254)
L = 22,51666

Answer 2

[gauss58]

Lösungsskizze:

Bezeichne den Mittelpunkt des großen Kreises mit M und den Mittelpunkt des linken kleinen Kreises mit A, den Mittelpunkt des rechten kleinen Kreises mit B und den Mittelpunkt des oberen kleinen Kreises mit C.

Der Radius des großen Kreises ist R und der Radius der kleinen Kreise ist r und die Seitenlänge des Dreiecks ist a.

Im Dreieck MBC gilt:

BC² = R² + R² - 2 * R * R * cos(120°) (Anwendung Kosinussatz)

Damit wurde BC abhängig von R bestimmt.

Alternativ kann BC auch mittels Kosinus bestimmt werden: (BC/2) / R = cos(30°)

Um die Seite a zu bestimmen, fehlt oben und unten noch jeweils ein Stück s.

s = r / tan(30°)

Damit wurde s abhängig von r bestimmt.

a(R, r) = BC + s + s