Mathe_ Optimierungsprobleme?
Hallo Ich bin total aufgeschmissen....
Kann mir jmd. eine Aufgabe erklären?:
Einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein neues Quadrat eingeschrieben, indem man von jedem Eckpunkt des äußeren Quadrats aus dem Uhrzeigersinn eine Strecke gleicher Länge abträgt. Bestimme das einbeschriebene Quadrat mit dem minimalen Flächeninhalt.
Ich kapiers einfach nicht :(
Bitte helft mir!
3 Antworten
Mach eine Skizze!
Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge a.
Betrachte eine Ecke des Quadrates und die Seite, die von diesem Punkt zur nächsten Ecke führt. Markiere im Abstand x von der ersten Ecke einen Punkt auf der betrachteten Seite.
Gehe nun zur nächsten Ecke und markiere von ihr aus gesehen im selben Abstand x einen Punkt auf der Seite des Qudrates, die zur nächsten Ecke führt. Dies mache für alle vier Ecken.
Verbindest du nun die vier neuen Punkte (sinnvoll!) durch Geraden, dann siehst du, das die neuen Punkte ein Quadrat innerhalb des ursprünglichen Quadrates bilden.
Der Flächeninhalt dieses neuen Quadrates ist offensichtlich von der Wahl des Abstandes x abhängig. Dieses x soll nun so bestimmt werden, dass die Fläche des neuen Quadrates minimal wird.
Nun, wie macht man das?
Der Flächeninhalt An des neuen Quadrates ist gleich dem Quadrat seiner Seitenlänge b, also
An = b * b
Es muss also nun die Seitenlänge b des neuen Quadrates betimmt werden.
Aus der Skizze solltest du erkennen, dass die Seite b die Hypotenuse eines rechtwinkligen Drieeckes ist, dessen Katheten
a - x
und
x
Einheiten lang sind.
Also gilt nach dem Satz des Pythagoras:
b ² = ( a - x ) ² + x ²
= a ² - 2 a x + x ² + x ²
= a ² - 2 a x + 2 x ²
Das ist nun bereits der von x abhängige Ausdruck für den Flächeninhalt An = b ² des neuen Dreiecks. Und diese Fläche soll nun minimiert werden.
Also Ableitung bilden und gleich Null setzen:
- 2 a + 4 x = 0
<=> 4 x = 2 a
<=> x = a / 2
Höchstens an dieser Stelle kann ein Extremum vorliegen.
Prüfung mit der zweiten Ableitung:
4 > 0
also liegt ein Minimum vor.
Der Flächeninhalt An des neuen Quadrates ist also genau dann minimal, wenn seine Ecken in den Mittelpunkten der Seiten des ursprünglichen Quadrates liegen.
Danke für das Bändchen.
Zunächst noch eine Korrektur. Ich schrieb:
Das ist nun bereits der von x abhängige Ausdruck für den Flächeninhalt An = b ² des neuen Dreiecks
Statt "Dreiecks" muss dort natürlich "Quadrates" stehen.
Wenn du noch keine Ableitungen hattest, dann musst du den Scheitelpunkt der Flächenfunktion des neuen Quadrates finden. Denn das ist die Stelle, an der die Flächenfunktion ihren kleinsten Wert hat. Den Scheitelpunkt findet man, indem man die Flächenfunktion in die Scheitelpunktform überführt:
Die Flächenfunktion lautet:
F ( x ) = a ² - 2 a x + 2 x ²
<=> F ( x ) = 2 * ( x ² - a x + a ² / 2 )
<=> F ( x ) = 2 * ( x ² - a x + ( a / 2 ) ² - ( a / 2 ) ² + ( a ² / 2 ) )
<=> F ( x ) = 2 * ( x - ( a / 2 ) ) ² - 2 * ( ( a / 2 ) ² - ( a ² / 2 ) )
<=> F ( x ) = 2 * ( x - ( a / 2 ) ) ² - 2 * ( a ² / 4 - a ² / 2 )
<=> F ( x ) = 2 * ( x - ( a / 2 ) ) ² + ( a ² / 2 )
Das ist nun die Scheitelpunktform. Aus ihr kann man den Scheitelpunkt S ( x | y ) direkt ablesen:
S ( x | y ) = S ( ( a / 2 ) | ( a ² / 2 ) )
Die minimale Fläche wird also an der Stelle x = ( a / 2 ) angenommen (vergleiche mit dem Ergebnis in meinem ersten Beitrag).
Der Funktionswert an dieser Stelle und somit die kleinstmögliche Fläche des neuen Quadrates beträgt:
y = ( a ² / 2 )
also genau die Hälfte des ursprünglichen Quadrates, dessen Flächeninhalt ja a ² betrug.
ziemlich kompliziert aber mir wirds glaub ich klarer Danke :)
jede seite des quadrats wird um x cm verkürzt. du musst den flächeninhalt in anhängigkeit von x ausrechnen und dann quadratisch ergänzen. da bin ich mir eig. ziemlich sicher.
wie geht Flächeninhalt in Ahnhänigkeit von x ausrechen? ....Sorry ...
mach mal ne Skizze und mit Pythagoras ist die Seitenlänge des einbeschriebenen Quadrats dann wurzel(x²+(a-x)²) und die Fläche ist dann Seitenlände ins Quadrat, also fliegt die Wurzel weg; dann habne wir Fläche= x²+(a-x)² und Klammer ausrechnen mit binomischer Formel; F=x²+a²-2ax+x² = 2x²-2ax+a² und das ableiten (x ist Variable) also F ' = 4x-2a =0 und x=0,5a also ist die Fläche = (0,5a)² + (a-0,5a)² = 0,25a²+0,25a²=0,5a²
Also bis zum Teil vom Ableiten komm ich dank dir jetzt auch, aber ich bin in der achten Klasse und hatte noch keine Ableitungen :D
Gibts da noch was andres?