Guten Tag. Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen?

Achso, bei der a) sollte eigentlich 2^x=e^xmal ln(2) stehen… Die Ableitung wäre dann ln(2) mal e^xmal ln(2)

Answer 1

[LoverOfPi]

a) Es soll gelten:

$2^x=e^a$ wobei wir a nicht kennen. Nun bedienen wir uns einem Trick, nämlich:

$2=e^x\ \Leftrightarrow\ x=\ln\left(2\right)$ also ist 2^x nichts anderes als:

$2^x=\left(e^{\ln\left(2\right)}\right)^{^x}=e^{\ln\left(2\right)\cdot x}$ b)

$f\left(x\right)=2^x=e^{\ln\left(2\right)\cdot x};\ f'\left(x\right)=\left(e^{\ln\left(2\right)\cdot x}\right)'=\ln\left(2\right)\cdot e^{\ln\left(2\right)\cdot x}=\ln\left(2\right)\cdot2^x$

c)

$e^{\ln\left(a\right)\cdot x}=\left(e^{\ln\left(a\right)}\right)^x=a^x\ \text{w}.\text{z}.\text{z}.\text{w}.$ $e^y=a^x\Leftrightarrow\ y=\ln\left(a^x\right)\ \text{nach}\ \text{Logarithmusdefinition}$ aber

$e^{\ln\left(a\right)\cdot x}=a^x\ \Rightarrow\ln\left(a\right)\cdot x=y=\ln\left(a^x\right)\ \text{w}.\text{z}.\text{z}.\text{w}.$

d)

$\left(a^x=b\ \ \Leftrightarrow\ x=\log_a\left(b\right)\right)\equiv\ \left(e^{\ln\left(a\right)\cdot x}=b\ \Leftrightarrow\ \ln\left(a\right)\cdot x=\ln\left(b\right)\right)$ $\Rightarrow\ x=\log_a\left(b\right),\ x=\frac{\ln\left(b\right)}{\ln\left(a\right)}\ \Rightarrow\ \log_a\left(b\right)=\frac{\ln\left(b\right)}{\ln\left(a\right)}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Comments

[Wechselfreund]

Schau dir b nochmal an.

[LoverOfPi]

@Wechselfreund

Stimmt. Da habe ich fix Integrieren und Ableiten verwechselt. Wird korrigiert.

Answer 2

[Wechselfreund]

Schon die ersten beiden Zeilen sind falsch.

Comments

[Alexldr]

Ja, ich habe die gerade verbessert. Da muss ja eigentlich 2^x =e^x-mal-ln(2) hin, oder?

[Tannibi]

@Alexldr

So ist es.