stimmt es, dass die ableitung von ln(2x) bzw. ln(3x) oder ln(4x) immer 1/x ist?

5 Antworten

Ja, da man ln (a*x) = ln (a)+ln(x) sagen kann. a ist der Vorfaktor und ungleich 0. 
Bei dem Ausdruck ln(a) handelt es sich um eine Konstante, die beim Ableiten stets wegfällt. Bleibt nur ln(x) übrig, was 1/x abgeleitet ist.

Es geht auch ohne Verkettung. Denke mal an eines der Logarithmengesetze, nämlich:

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Demnach: ln(2x) = ln(2) + ln(x). Das ln(2) ist ein konstanter Summand und fällt beim Ableiten weg, übrig bleibt die Ableitung von ln(x), und die ist 1/x.

Allgemein: ln(ax) = ln(a) + ln(x). Das ln(a) ist dann immer ein konstanter Summand, der beim Ableiten wegfällt.

Folglich kann man sagen, daß die Funktionen ln(x), ln(2x) usw. alle gleich aussehen, nur sind sie in y-Richtung verschoben

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Ja, stimmt. Logisch erklärt: Es handelt sich ja hierbei um eine verkettete Funktion, sprich musst du die Kettenregel anwenden (äußere Ableitung mal innere Ableitung).

Die äußere Ableitung von ln(4x) ist 1/(4x).

Die innere Ableitung von 4x ist 4.

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