ableitung von ln(x^2)*ln((x))^2?
hallo community,
ich bin gerade eine probeklausur am durchrechnen, verzweifel aber bei einer aufgabe zum ableiten von logarithmen.
die aufgabe lautet: leiten sie ln (x^2) * (ln (x) )^2 ab.
die antwort ist gegeben mit
6 * (ln (x))^2 im zähler und x im nenner. (also 6* (ln (x))^2/x).
ich komme mit meinen rechnungen aber nicht an das vorgegebene ergebnis.
meine vorangehensweise ist in erster linie die produktregel.
ich kann zwar g(x), also ln(x^2) problemlos ableiten, bei h(x), also (ln (x))^2 bin ich mir aber nicht sicher, das ist doch doppelt verkettet oder??? da müsste ich ja bei der ersten ableitung nur die zwei vor das ln(x) ziehen, aber komme dann nicht weiter...
hat jemand einen guten lösungsansatz? mit rechenweg wäre es super!
danke im voraus!
gruß, johncena361
2 Antworten
Ableitung von ln(x):
(ln(x))'=(1/x)*x'
ln(x²)=2*ln(x)
Produktregel: (uv)'=u'v+uv'
u=2*ln(x)
u'=2*(1/x)=2/x
v=ln²(x)
v'=2*ln(x)*1/x=(2*ln(x))/x (hier greift die Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung ; äußere Ableitung ist 2*ln(x), innere ist 1/x)
Nach Produktregel ergibt sich:
f'(x)=(2/x) * ln²(x) + 2*ln(x) * [2*ln(x)]/x
=[2*ln²(x)]/x + [4*ln²(x)]/x
Regel: a/c + b/c = (a+b)/c
=[2*ln²(x) + 4*ln²(x)]/x
=[6*ln²(x)]/x
Welches Produkt genau?
Letztendlich kommen wir beide auf das selbe Ergebnis ; du hast ja
(2ln²(x)+2ln(x)*ln(x²))
ln(x²) ist ja 2*ln(x)
Der zweite Summand im Nenner, also 2ln(x)*ln(x²) wird dann zu 2ln(x)*2ln(x), was 4ln²(x) ist. Dann addiert man noch die 2ln(x) vom ersten Summanden und erhält 6ln²(x)/x, was in der Lösung steht.
Ja, das ist mir auch erst am Ende aufgefallen, kam nämlich zuerst auf den selben Bruch wie du.
Brich' Dir bloß keinen ab!
Du hast doch schon f(x)=2·ln(x)·ln²(x) dastehen. Fass das doch einfach zusammen: f(x)=2·ln³(x).
Den Rest kann man im Kopf rechnen.
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, danke dir ^^
ich glaube, die Lösung ist falsch.
ich bekomme raus mit produktregel
2/x • ln²x + ln(x²) • 2lnx • 1/x
= (2ln²x+2lnx • ln(x²)) / x
ich verstehe das hintere Produkt bei f ' nicht.