verkettete Funktion oder produktregel (Mathe)?
hallo :) schreibe morgen Abitur und habe noch eine frage und zwar wenn ich die Funktion f(x)=2(e^x -2) habe dann weis ich nicht ob ich ableiten soll nach dem vorgehen bei einer verketteten Funktion oder ob ich die produktregel anwehten soll bei Verkettung sollte rauskommen: 2(e^x -2)*e^x
und bei der produktregel: 2*e^x+0(e^x-2)
was stimmt denn nun??
4 Antworten
1. Dein zweites Ergebnis stimmt f'(x)=2e^x
2. Die Kettenregel nimmst du, wenn eine Verkettung von Funktionen vorliegt.
Beispiel Du möchtest die Funktion f(x)=e^(x^2) ableiten. Die Funktion kannst du als Verkettung von zwei Funktionen, nämlich g(x)=e^x und h(x)=x^2 betrachten. Also f(x)=g(h(x)).
So etwas ist eine Verkettung. Nach der Kettenregel ist jetzt f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=e^(h(x))*2x=e^(x^2)*2x.
3. Die Produktregel nimmst du, wenn ein Produkt von zwei Funktionen vorliegt.
Beispiel: f(x)=x^2*sin(x) Hier kannst du f zerlegen in g(x)=x^2 und h(x)=sin(x), also f(x)=g(x)*h(x).
Nach der Produktregel ist f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)
In deinem Beispiel liegt nun aber keine Verkettung von Funktion vor, sondern ein Produkt. Daher ist deine zweite Lösung richtig.
Tipp1: Wenn du Ableiten übst und deine Ergebnisse kontrollieren möchtest, dann geh einfach auf www.wolframalpha.com und gib in das Feld "D[deine Funktion]" ein. Dann spuckt er die Ableitung aus.
TIpp2: Es kann natürlich auch vorkommen, dass du sowohl Produkt- als auch die Kettenregel anwenden musst: Z.B. f(x)=x^2*e^(sin(x)).
Also es ist nicht immer entweder oder.
Achso und eine Sache noch:
Bei unserer Matheprüfung hatte sich die Hälfte der Schüler enorm aufgeregt, dass Aufgaben dran kamen wie: bestimme die Stammfunktion von f(x)=e^(-5x). Also Funktionen für deren Stammfunktionsbildung man keine Formel bekommen hat, die man einfach anwenden könnte.
I.d.R. sind die Funktionen dann aber so einfach, dass klar ist was die Stammfunktion ist. Die Leute, die sich aufgeregt haben sind halt bloß nicht darauf gekommen sich mal zu fragen welche Funktion sie ableiten müssen um wieder auf f zu kommen.
Egal. Viel Glück bei der Prüfung.
e^x=exp(x)
Erst mal ausmultiplizieren.
2exp(x)-4=f(x)
Das die -4 wegfallt, weißt Du sicherlich und 2exp(x), da ändert sich nix, weil exp(x) bleibt beim ableiten immer exp(x).
f'(x)=2exp(x)=2e^x
Warum?
Naja, wenn Du bei exp(x) die innere Fkt., das x ableitest, wird aus dem x eine 1.
Und äußere mal innere Fkt. ergibt dann 1*exp(x) = exp(x).
Diese Lösung "2(e^x -2)*e^x" ist falsch. Ich bin mir auch gar nicht sicher, was du da gerechnet hast.
Diese Lösung "2*e^x+0(e^x-2)" ist richtig.
Wenn du es ganz genau wissen willst- musst du beide verwenden(Produkt und Kettenregel):
2*(e^x-2)
->
Produktregel:
2'*(e^x-2)+2*(e^x-2)'
2'=0
->
0*(e^x-2)+2*(e^x-2)'
= 2(e^x-2)' = 2*((e^x)'-2')
=2*(x'*e^x-0)
=2*1*e^x = 2*e^x
Nimm die verkettete :)
Viel Glück morgen und keine Panik...selbst ich als absolute Mathenull habs geschafft :D
:) danke! woher weis ich dann wann ich die verkette nehmen muss? oder im Zweifel immer die verkettete?:D