Grenzwert-Regeln?

Hallo:

Rechts ist der lim von links, zwei Regeln also. Was passiert, wenn ich die Zähler durch Konstante a ersetze, wie sieht dann der jeweilige lim aus? Kommt das a als Potenz von e?

Answer 1

[Rammstein53]

$(1+\frac{a}{n})^n=$

$\exp\ \left(\ \ln\ \left(\left(1\ +\ \frac{a}{n}\right)^n\right)\right)\ =$

$\exp\ \left(\ \ n\cdot\ln\ \left(1\ +\ \frac{a}{n}\right)\right)\ =\$ $\exp\ \left(\ \frac{\ln\left(1+\frac{a}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\right)$

f(n) = ln ( 1 + a/n ), g(n) = 1/n

f(n) und g(n) --> 0 für n --> ∞

Hospital anwenden:

$f'\left(n\right)\ =\ -\frac{a}{an+n^2}$

$g'\left(n\right)\ =\ -\frac{1}{n^2}$

lim n --> ∞ f'(n)/g'(n) = a

daraus folgt:

lim n --> ∞ (1 + a/n)^n = e^a

und

lim n --> ∞ (1 - a/n)^n = e^(-a)