Ganzrationale Garageneinfahrt?
Hallo,
in unserem Mathebuch steht folgende Aufgabe:
Wie will man die lösen?
Hatte schon einige Ansätze, entweder ergaben meine Ergebnisse keinen Sinn oder es gab gar keine...
Kann mir jemand helfen?
3 Antworten
Wir sehen hier 2 Extrema.
Minimum bei T(0/0) und Maximum H(9,6/1,4)
eine kubische Funktion hat maximal 2 Extrema (Buckel),also
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit T(0/0) → f(0)=a3*0³+a2*0²+a1*0+ao → ao=0
f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+a1 mit T(0/0) f´(0)=0=3*a3*0²+2*a2*0+a1 → a1=0
bleibt
1) f(9,2)=1,4=a3*9,2³+a2*9,2² aus H(9,2/1,4)
2) f´(9,2)=0=3*a3*9,2²+2*a2*9,2=0
dieses lineare Gleichungssystem (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht
1) 778,688*a3+84,64*a2=1,4 aus H(9,2/1,4
2) 253,92*a3+18,4*a2=0 aus H(9,2/1,4) f´(9,2)=0=..
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR) a3=-3,597 *10^(-3) und a2=0,04962
y=f(x)=-3,597*10^(-3)*x³+0,04962*x²
Hinweis:Kannst auch eine Gerade der Form y=f(x)=m*x anlegen,allerdings ergibt das keinen fließenden Übergang bei T(0/0) und H(9,2/1,4).
Das ist eine "Steckbriefaufgabe" (Rekonstruktion,Modellierungsaufgabe)
Das ist ein "lineares Gleichungssystem" (LGS)
Mit dem GTR braucht man nur die Zahlenwerte eingeben und dann EXE drücken.
In den GTR ist ein Programm installiert mit den ma LGS lösen kann
Vorgehensweise:
1) GTR einschalten
2) das Programm auf dem Menü aufrufen,was das LGS löst
3) die Werte eingaben
4) dann auf EXE (ausführen) drücken)
1 Sekunde ist dann das Ergebnis da
Beispiel: x1=1 und y=2
1) 2*1+3*2=2+6=8
2) -3*1+6*2=-3+12=9
LGS
1) 2*x+3*y=8
2) -3*x+6*y=9
Für die Bedienung des GTR,mußt du die Betriebsanleitung durchlesen.
Ich nehme nur noch eine Freundschaften an,wenn du Nachhilfe brauchst.
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Sagt dir Steckbriefaufgabe im Zusammenhang mit Funktionen etwas?
Da in der Zufahrt offenbar ein Wendepunkt ist, wäre eine Funktion 3. Grades angezeigt.
ax³ + bx² +cx + d
Davon kann man Ableitungen bilden.
Einige Punkte können abgelesen werden.
ich hatte das bisher immer nur mit einer Funktion 4. Grades ausprobiert😅. Wie würdest Du dann weitermachen?
Beim 4. Grad ginge die Funktion ja auf beiden Enden nach oben.
- Dritter Grad ist wohl passender.
- Extremwerte mit geeignetem Koordinatensystem ablesen.
- Mit dem Wendepunkt experimentieren; in der Mitte anfangen. Steigung aus 1. Ableitung nehmen.
Kann man sich denn sicher sein, dass es eine Funktion 3. Grades ist? Oder macht geht man bei solchen Aufgabe einfach davon aus?
Wir kommen mit einem Wendepunkt zwischen einem Minimum und einem Maximum aus. Das spricht für den 3. Grad. Der weitere Verlauf interessiert ja nicht.
In der Aufgabenstellung ist von einer ganzrationalen Funktion die Rede.Das schränkt die Möglichkeiten schon einmal ein. Außerdem lassen sich nur vier Punkte bestimmen, nämlich f(0), f(9,2), f'(0) und f'(9,2).
Um eine ganzrationale Funktion vom Grad n eindeutig zu bestimmen, brauchst Du n+1 Punkte. n+1=4, also n=3. Du bekommst also nur den dritten Grad hin.
Ansonsten ginge es auch mit einer Sinusfunktion.
f(x)=-0,7*sin((pi/9,2)x+pi/2)+0,7 ergäbe auch eine passende Auffahrt.
Hast du es schon mit einem lgs probiert?
daran habe ich noch gar nicht gedacht... wäre das nicht etwas einfach?
ahhh, ich weiß wieder warum ich das nicht gemacht habe: „Der Übergang soll möglichst glatt sein“. Das heißt, es soll keine Kanten geben, von der Straße zur „Rampe“ und von der zur Tiefgarage. Aber das hätte man bei einer linearen Funktion ja...
bei einem lgs kommt ja auch ein polynom raus, und da kann es dann glatt sein
Wie ich auf die 2 Gleichungen komme, verstehe ich jetzt, aber wie geht es dann beim GTR genau weiter ?