Funktionsscgar nullstellen berechnen?

5 Antworten

F_t(x) = 2 * x ^ 3 - t * x ^ 2 + 8 * x

Gleich Null setzen :

2 * x ^ 3 - t * x ^ 2 + 8 * x = 0

Ein x ausklammern :

x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) = 0

Wegen dem Satz vom Nullprodukt ist eine Nullstelle x _ 3 = 0

Der Satz vom Nullprodukt lautet : "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."

Wenn in x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) also das ausgeklammerte x Null wird, dann ist x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) = 0, daher erklärt sich x _ 3  = 0

Den Term innerhalb der Klammer Null setzen :

2 * x ^ 2 - t * x + 8 = 0

Durch 2 teilen :

x ^ 2 - (t / 2) * x + 4 = 0

pq - Formel anwenden:


Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 – q )


p = - (t / 2)

q = 4

p / 2 = - (t / 4)

(p / 2) ^ 2 = - (t / 4) * - (t / 4) = (t ^ 2) / 16

Nun diese Identitäten in die pq-Formel einsetzen :

x _ 1, 2 = - (- (t / 4)) ∓ √((t ^ 2) / 16 - 4 )

x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2) / 16 - 64 / 16 )

x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2 - 64) / 16)

x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2 - 64)) / √(16)

x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √(t ^ 2 - 64) / 4

x _ 1 = (t + √(t ^ 2 - 64)) / 4

x _ 2 = (t - √(t ^ 2 - 64)) / 4

x _ 3 = 0

Zu beachten ist, dass man nicht für jedes t reelle Lösungen erhält, denn sobald t ^ 2 - 64 < 0 ist, erhält man komplexe Zahlen als Lösungen.

t ^ 2 - 64 = 0 | + 64

t ^ 2 = 64 | √(..)

t _ 1 = - 8

t _ 2 = + 8

Im Bereich - 8 < t < + 8 erhält man komplexe Zahlen als Lösungen, also auch für t = 2

hier sind nur Therme mit x,also ist schon mal eine Nullstelle bei x1=0

Das sieht man so schon.Da braucht man gar nicht erst rechnen.

nun ein x ausklammern

f(x)=x*(2*x²-2*x+8)

nun den "Satz vom Nullproduckt" anwenden

c=a*b hier ist c=0 wenn a=0 oder b=0 oder beide a=b=0 ist

Also weitere Nullstellen,wenn der Klammerausdruck zu Null wird.

f(x)=2*x²-2*x+8 ist eine "quadratische Gleichung der Form

f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Nornalform der Parabel 0=x²+p*x+q

Nullstellen mit der p-q-Formel ,siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung" und auch die "Lösbarkeitsregeln"

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

f(x)=2*x²-2*x+8 dividiert durch 2 ergibt

f(x)=0=x²-1*x+4 also ist hier p=1 und q=4

Nullstellen bei z1=0,5+i 1,936.. und z2=0,5-1,936.. sind Komplexe Zahlen

Es gibr also nur 1 "reelle Nullstelle" bei x1=0

x1,2=-(-1)/2+/-Wurzel ((1/2)²-4)=0,5+/- Wurzel(0,25-4)

Wurzel(-3,73)=+/- i 1,936.. hier ist i die imaginäre Einheit

siehe Mathe-Formelbuch "komplexe Zahlen"

x kommt in jedem Summanden vor, also... x ausklammern (Du kannst in diesem Fall mit t=2 sogar 2x ausklammern). Dann hast Du x mal quadratischen Term. Jetzt beide Faktoren separat Null setzen, also x=0 und Klammer=0. Die Klammer mit z. B. pq-Formel lösen.

(das ginge genauso mit t statt einer konkreten Zahl; dann müsstest Du eben nur "stur" das t durch die ganze Rechnung "mitschleppen"...)

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