funktionsschar extrempunkte und wendepunkte?

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2 Antworten

Definiere die Funktionsschar ft mit

ft(x) = 1/2 x³ - t x² + 1/2 t².

Dann sind die erste und zweite Ableitung gegeben durch

ft '(x) = 3/2 x² - 2t x,

ft ''(x) = 3x - 2t.

Extrempunkte: notwendiges Kriterium: ft '(x) = 0

0 = 3/2 x² - 2t x ... ausklammern von x

0 = x ( 3/2 x - 2t )

also ist x = 0 oder x = 4/3 t

Prüfen mit zweitem hinreichenden Kriterium:

ft ''(0) = 3 * 0 - 2t = -2t ist ungleich 0 für t ungleich 0.

Sei t = 0, dann prüfen wir mit dem ersten hinreichenden Kriterium:

f0 '(-1) = 3/2 * (-1)² = 3/2,

f0 '(1) = 3/2 * 1² = 3/2. Folglich hat f0 keine Extremstelle bei x = 0. Für jedes t ungleich 0 hat ft eine Extremstelle bei x = 0.

Wir prüfen die Stelle x = 4/3 t mit dem zweiten hinreichenden Kriterium:

ft ''(4/3 t) = 3 * 4/3 t - 2t = t ist ungleich 0 für t ungleich 0.

Für t = 0 ist 4/3 t = 4/3 * 0 = 0. Dass f0 bei x = 0 keine Extremstelle hat, haben wir bereits gesehen.

Zusammenfassung: Für t ungleich 0 hat ft die beiden Extremstellen x = 0 und x = 4/3 t.

Den Rest überlasse ich dir.

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Dann schreib erste und zweit Ableitung mal hier rein.

Was findet man mit den Ableitungen heraus?

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