Wendepunkt und Extrempunkt an gleicher Stelle?

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6 Antworten

Richtig, die erste Ableitung hat an der Stelle x=2 eine doppelte Nullstelle und die zweite Ableitung eine einfache.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx (1/6)x^3 - x^2 2x = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d²/dx² (1/6)x^3 - x^2 + 2x = 0

(Du musst noch das +-Zeichen ergänzen)

Schaut man sich die Funktion an, sieht man, dass sich dort ein Sattelpunkt befindet. In einem Sattelpunkt ist die Steigung 0 und der Drift ändert sich.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x) = (1/6)x^3 - x^2 + 2x

Ich rate dir, bei solchen Analysen, besonders wenn du übst, immer erst dir die Funktionen zur Visualisierung zu plotten.

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Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der zusätzlichen Eigenschaft:
die Tangente hat die Steigung 0.

f '(x)  = 0    und
f ''(x) = 0

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Die 1. Ableitung ist die Steigung und die 2. Ableitung die Beugung. Wenn beides an der selben x-Stelle Null wird, hast du einen Terrassenpunkt, da es dort keine Steigung und keine Beugung gibt.

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Bei einem Extrempunkt muss neben f'(x) = 0 auch f''(x) ≠ 0 gelten, und das ist hier nicht der Fall.

Es ist ein Sattelpunkt, da f'(x) = 0, f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

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Kommentar von KDWalther
05.05.2016, 22:12

An einer Extremstelle muss die zweite Ableitung nicht null sein! Nur: wenn sie ungleich null ist (zusammen mit f´(xe)=0), dann hat f bei xe auf jeden Fall eine relative Extremstelle.

Standardgegenbeispiel: g(x) = x^4.

0

Wenn f'(2)=0 ist, heißt das nur, dass an der Stelle 2 ein Extrempunkt sein könnte. Du suchst nun die erste Ableitung , die an der Stelle 2 nicht 0 ergibt. Ist diese Ableitungsnum.mer gerade , dann ist es ein Extrempunkt, bei dir ist das nicht der Fall, also ist es kein Extrempunkt.

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Nullstellen der ersten Ableitung bedeuten: Dort ist die Funktion "flach". Das _kann_ eine Extremstelle sein, muss es aber nicht; ein sog. Sattelpunkt ist genauso möglich. Welcher Art die "Flachheit" ist, sagt dir die zwote Ableitung an dieser Stelle:

 * streng positiv => Minimum
 * streng negativ => Maximum
 * genau 0 => Wendepunkt

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