quadratische Funktionen, Wendepunkt bzw. Extrempunkt?
Hallo,
meine Frage ist, ob quadratische Funktionen einen Extrempunkt, bzw. Wendepunkt besitzen? Ich habe mir aufgeschrieben, dass der Scheitelpunkt der Extrempunkt wäre, jedoch finde ich im internet eben andere Ergebnisse.
Das ganze sollte allgemein betrachtet sein.
6 Antworten
f(x) = ax² + bx + c ; a ungleich 0, a,b und c Element R
Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion (Parabel) ist für
a < 0 der Hochpunkt
a > 0 der Tiefpunkt
Nun noch die Begründung, warum eine Parabel keinen Wendepunkt hat:
f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
f'''(x) = 0
Weil bei einem Wendepunkt die zweite Ableitung Null sein müsste, wäre a = 0 und es würde keine quadratische Funktion vorliegen. Die dritte Ableitung darf bei einem Wendepunkt nicht 0 sein, auch diese Bedingung für einen Wendepunkt wird verletzt.
Noch am Rande die Herleitung der Scheitelkoordinaten:
f'(x) = 0
2a*x+b = 0 |-b |:2a
x = -b/2a ist die x-Koordinate des Scheitels
y = b²/4a -b²/2a + c
y = b²/4a -2b²/4a +c
y = -b²/4a +c ist die y-Koordinate des Scheitels
Nun könnte man mit der zweiten Ableitung begründen (Vorzeichen), für welche Werte von a ein Tiefpunkt und für welche ein Hochpunkt vorliegt.
naja allgemein betrachtet:
f(x)= ax^2+bx+c
f´(x) = 2ax+b
Extrempunkt:
f´(x)=0 --> 2ax+b=0 --> x= -b/2a
Wendepunkt:
f´´(x)=2a aber f´´´(x)=0 also kein Wendepunkt
Eine quadratische Funktion hat immer eine einzige Krümmung, daher existiert kein Wendepunkt. Extreme hingegen schon.
Gruß
Mein Vorredner hat die Frage bereits beantwortet, ich führe Dir das Ganze nur noch genauer aus.
Quadratische Funktionen ( f(x)=Ax²+B, A und B sind Zahlen, x die Variable) haben immer die Form einer Parabel ( sieht entweder aus wie ein U oder ein auf den Kopf gestelltes U ). Deswegen gibt es immer einen Hoch- bzw. Tiefpunkt und keinen Wendepunkt.
Mfg
Quadratische Funktionen haben nie einem Wendepunkt